對比兩個(gè)具有無(wú)限間斷點(diǎn)信號的頻譜

今天想到一個(gè)問(wèn)題，  這里有兩個(gè)都帶有無(wú)窮多個(gè)間斷點(diǎn)的信號。它們都位于 0,1 之間。?第一個(gè)信號是從 0 開(kāi)始往1前進(jìn)，  每前進(jìn)剩余路程的一半，幅值降低一半。?第二個(gè)信號是從 0 往 1 前進(jìn)， 每次都前進(jìn)剩余路程的一半。在前進(jìn)的路程中出現一個(gè)寬度為路程長(cháng)度一半的矩形脈沖信號。?根據傅里葉變換，  這兩個(gè)信號都不滿(mǎn)足 Dirichlet 條件。那么他們傅里葉變換是什么呢？

圖1.1.1 第一種間斷點(diǎn)函數

圖1.1.2 第二種間斷點(diǎn)信號

二、信號1頻譜

1、頻譜推導

首先求取第一個(gè)型號的頻譜。?這是它的數學(xué)表達式，?對于級數中每一項，??它都表示一個(gè)矩形脈沖，?高度為 2 的 負 n 次方，?起始點(diǎn)為 1 減去 2 的負 n 次方，?終點(diǎn)為 1 減去 2 的負 n 加 1 次方。??寬度為 2 的 負 n 加 1 次方。??寫(xiě)出該脈沖信號的頻譜。?請注意， 該信號的中心應該位于 1 減去3 倍的 2 的 負n 減1次方。?

圖1.2.1 級數每一項對應的傅里葉變換

對于原信號的頻譜， ??就是需要將級數每一項的頻譜都加起來(lái)，?這樣便得到信號的頻譜了。??

下面是整理后的頻譜公式：

圖1.2.2 信號的傅里葉級數分解公式

圖2.2 第一個(gè)型號的幅度譜

2、驗證公式

這是最終推導出來(lái)的信號頻譜公式， 這也是一個(gè)級數。?下面通過(guò)離散傅里葉變換來(lái)驗證一下這個(gè)公式。

這是通過(guò) Python 編程， 取正負 10000 之間的頻頻， 采用 10 萬(wàn)個(gè)頻譜數據點(diǎn)，進(jìn)行反變換。?計算頻譜級數取 100 級。?這是計算出來(lái)的信號波形?？梢钥吹剿c給定的信號是一致的。?在 0 點(diǎn)有一個(gè)過(guò)沖， ?其余其它間斷點(diǎn)都有過(guò)沖。?據此，不僅驗證了這個(gè)公式的有效性，  而且還可以大致推斷出該公式應該是收斂的。

圖1.2.3 第一個(gè)信號IFFT的結果

三、信號2頻譜

1、頻譜推導

對于第二個(gè)信號， ?它表述成無(wú)窮級數的形式，?其中每一項信號?對應的高度都是1，?只是他們的寬度和位置不同。??這里給出了信號所在的區域的起始位置和其中脈沖的起始和結束位置。??每一個(gè) 脈沖的頻譜對應的sinc 函數。將它們疊加起來(lái)形成整個(gè)信號的頻譜。

圖1.3.1 單個(gè)脈沖的頻譜推導

下面是推導之后的信號波形：圖片圖片

第二個(gè)信號的幅度譜

2、驗證公式

為了驗證這個(gè)公式的正確性， 依然通過(guò)Python編程， 使用離散傅里葉反變換獲得它對應的波形。?取 正負 10000之內的頻譜， 采樣 10 萬(wàn)個(gè)數據點(diǎn)， ?進(jìn)行傅里葉反變換最終得到信號的是不波形，  這個(gè)結果初步驗證了公式的正確性。?關(guān)于這個(gè)信號誤差的收斂性，以后再進(jìn)行仿真驗證。?左邊是原始信號波形，  右邊是利用有限頻譜合成的信號波形。

圖1.3.2 使用有限帶寬獲得信號的近似波形

本文對于兩個(gè)具有無(wú)線(xiàn)間斷點(diǎn)信號的頻譜進(jìn)行了推導，?它們都是無(wú)限級數形式，??并使用 離散傅里葉變換進(jìn)行數值求解，?通過(guò)仿真波形驗證了頻譜公式的正確性。?關(guān)于它們頻譜的收斂性， 以后再進(jìn)行討論。

圖2.1 信號波形及其頻譜

來(lái)源：卓晴，TsinghuaJoking