推論先天八卦與整數樹(shù)

當前快速發(fā)展的信息化引發(fā)的信息爆炸，使計算機軟、硬件的處理能力已接近極限。原因是我們所使用的計算機是為處理線(xiàn)性數據設計的，對非線(xiàn)性數據一直是通過(guò)轉換來(lái)處理。隨著(zhù)計算機要處理的非線(xiàn)性數據的增加，必然會(huì )使計算機數據處理能力不斷下降。

今后大范圍的云計算、物聯(lián)網(wǎng)，乃至智慧地球的應用中的無(wú)限天量非線(xiàn)性數據處理的需求，促使計算機軟、硬件在提高非線(xiàn)性數據的處理能力上創(chuàng )新。

計算機進(jìn)行數據處理的基本操作是將數據按一定算法程序，在計算機系統內的不同存儲單元間移動(dòng)。數據移動(dòng)的速度決定計算機數據處理的能力。因此，數據存儲技術(shù)是提高計算機軟、硬件的數據處理能力的核心技術(shù)。又因，數據存儲技術(shù)的基礎是數據結構，發(fā)明或發(fā)現新的數據結構，將是提高數據存儲技術(shù)的探索方向。

北斗時(shí)空碼采用北京乾坤化物數字技術(shù)有限公司的自主知識產(chǎn)權的“IP地址結構樹(shù)的構建方法”發(fā)明專(zhuān)利建立的索引系統能夠快速提供無(wú)限天量編碼，就是在發(fā)現源于先天八卦的整數樹(shù)數據結構基礎上，做了進(jìn)一步創(chuàng )新后實(shí)現的。

一、以往看先天八卦與數

先天八卦是中國寶貴的歷史文化遺產(chǎn)。相傳先天八卦是由中華民族的先祖伏羲畫(huà)的。由于沒(méi)有文字記錄，對先天八卦的來(lái)歷無(wú)從考證。但是，幾千年來(lái)，對先天八卦的含意，人們從各種學(xué)科角度進(jìn)行了一代一代的不懈研究，得出了后天八卦、易經(jīng)等許多富有哲理的深奧結果，有些推論至今還有很大影響。

 圖1： 先天八卦圖

先天八卦是圖1圓圈外用陽(yáng)爻“—”和陰爻“- -”兩種連和斷的橫線(xiàn)，以三層不同組合的八種卦的圖形排列的圓形圖案。圓圈內的文字是后人研究先天八卦賦給的每個(gè)卦的卦名。圓圈是為能明確分隔卦與卦名加畫(huà)的，沒(méi)有含意。

從數學(xué)角度看，古人對先天八卦產(chǎn)生的最有意義的推論是：太極生兩儀：陽(yáng)儀、陰儀；兩儀生四象：太陽(yáng)、少陰、少陽(yáng)、太陰；四象生八卦：乾、兌、離、震、巽、坎、艮、坤；八卦生無(wú)窮。此推論是一種從哲學(xué)角度解說(shuō)世界是從無(wú)到太極，從太極開(kāi)始生兩儀，并按一分為二方式不斷分裂產(chǎn)生的。

圖2：太極產(chǎn)生先天八卦圖

古人對太極產(chǎn)生的八卦又分別注上八個(gè)數字，即為：乾一、兌二、離三、震四、巽五、坎六、艮七、坤八。由此，指出八卦圖中相對應的兩卦：乾坤、兌艮、離坎、震巽卦的和都是九。

德國數學(xué)家萊布尼茲發(fā)明二進(jìn)制后，有人將先天八卦中的陽(yáng)爻“—”定義為1，將陰爻“- -”定義為0；然后將先天八卦的八個(gè)卦分別注上二進(jìn)制，即：乾為0：000、兌為1：001、離為2：010、震:為3：011、巽4:100、坎5：101、艮6:110、坤為7：111。也指出用二進(jìn)制定義八卦后，八卦圖中相對應兩卦：乾坤、兌艮、離坎、震巽卦的和都是7：111。

近代，數學(xué)家用a表示先天八卦中的陽(yáng)爻“—”，用b代表陰爻“- -”，然后代入(a＋b)的n次自乘的牛頓二項式公式，準確推論出太極生八卦、八卦生無(wú)窮的每次生卦的數量和卦的組合狀態(tài)。經(jīng)論證，可以看到先天八卦的生卦與二項式公式完全吻合，不盡讓人另眼看先天八卦深奧的數學(xué)含義。

二、另眼看先天八卦與數

用數字一至八表示先天八卦中的每個(gè)卦，還是用二進(jìn)制000至111表示先天八卦中的每個(gè)卦都是人為的定義，不一定代表原畫(huà)卦者的初衷。數字0的出現和廣泛使用是在12世紀，因此，將先天八卦中的陰爻“- -”看做為0進(jìn)行推論，不符合歷史實(shí)際。

由于用數字一至八或用二進(jìn)制數000至111表示先天八卦中的每個(gè)卦，都是在人為的，或靜態(tài)的看先天八卦，不能將每個(gè)卦之間的客觀(guān)關(guān)系和每次生卦的動(dòng)態(tài)生長(cháng)關(guān)系表示出來(lái)。因此，在數學(xué)上一直沒(méi)能對先天八卦進(jìn)行更深的推論。再加上一些古人推論八卦與觀(guān)測星象、預告未來(lái)等有關(guān)，但因其中許多推論與現代科學(xué)不符，越來(lái)越不被世人信服，反使先天八卦日益受到冷落。

世間的創(chuàng )新，首先是思路和方法的創(chuàng )新。以往對先天八卦的數學(xué)探討，都是先在主觀(guān)上定個(gè)假設，再進(jìn)行推論，沒(méi)看到先天八卦的實(shí)質(zhì)。即然畫(huà)出先天八卦的時(shí)代還沒(méi)有文字，不仿將爻的圖示簡(jiǎn)單地進(jìn)行直觀(guān)：將先天八卦中的陽(yáng)爻“—”還看做1，將陰爻“- -”就看做2，再觀(guān)太極生八卦圖就會(huì )產(chǎn)生新的思路。

圖3：另眼看太極生八卦圖

圖3與圖2是一樣的太極生八卦圖，只是將圖2中的二儀、四象和八卦的文字標識去掉，改注了數字。圖3中的二儀、四象和八卦的上部標的是十進(jìn)制數，下部標識的是將二儀、四象和八卦的陽(yáng)爻“—”替代為1，陰爻“- -”替代為2的對應一組數字表示符。從圖3中，可以看到用1和2標識陽(yáng)爻和陰爻是非常直觀(guān)和清晰，也許更客觀(guān)地貼近畫(huà)先天八卦者的思想。圖4是用1和2對應標識陽(yáng)爻和陰爻的先天八卦圖。

三、二的冪次方進(jìn)制數

為進(jìn)一步推論先天八卦中的數字關(guān)系，將圖3中每個(gè)二儀、四象和八卦的下部替代陽(yáng)爻“—”為1，陰爻“- -”為2的對應一組數字表示符，以及圖4中對應各卦的由1和2組合的一組數字表示符，定義為是二的冪次方進(jìn)制數。

表1是十進(jìn)制1至16與對應二進(jìn)制、二的冪次方進(jìn)制數對照表。 

表1：十進(jìn)制1至16與對應二進(jìn)制、二的冪次方進(jìn)制數對照

二的冪次方進(jìn)制數是一種新的計數方法，它由兩個(gè)基本數字符號1，2組成（也可以規定為0和1或A或B等）。二的冪次方進(jìn)制數還有一個(gè)字符：0 （也可以規定為3或C等），用于表示第三種狀態(tài)，如：相等、起始、高阻態(tài)等。在二的冪次方進(jìn)制數中，0不用于表示數，但做為正、負整數樹(shù)的起點(diǎn)（根）存在。如同太極，無(wú)形無(wú)質(zhì)，無(wú)聲無(wú)臭；可是它有神有氣，有靈有顯，可以無(wú)中生有。

 圖4 ：用1和2對應標的先天八卦圖

二的冪次方進(jìn)制數計數規律是滿(mǎn)二的冪次方值時(shí)向上位進(jìn)一，且進(jìn)位位恢復系數為1。為符合人們日常十進(jìn)制運算習慣，我們將二的冪次方進(jìn)制數中，用數字符號1直接表示整數1，用數字符號2直接表示整數2，可使這二個(gè)數字符號的表示與十進(jìn)制的整數1和2相同。整數3以后的整數也用1或2兩數字符號表示。如：整數3將產(chǎn)生進(jìn)位，用兩位數字符號11表示，整數4不產(chǎn)生進(jìn)位，用兩位數字12表示，整數5產(chǎn)生進(jìn)位，用2位數字21表示，整數6不產(chǎn)生進(jìn)位，用兩位數字22表示，整數7產(chǎn)生兩次進(jìn)位，用三位數字111表示……。由此可以看到：二的冪次方進(jìn)制數對應N位整數Z的表示應為：

           Z= X(N)X(N-1) …X(N-N+3)X(N-N+2)X(N-N+1)X(N-N)

其中，X={1,2}，X數字符號，N={0,1,2…}, N是位數。

每個(gè)整數在二的冪次方進(jìn)制數中僅表示出每位的數字符號，省略了每位對應的數位的權，即二的冪。這與十進(jìn)制、二進(jìn)制和十六進(jìn)制等數字表示時(shí)省略數位的權一樣。^注1

圖3中的二儀、四象和八卦的上部標的十進(jìn)制數就是每個(gè)二儀、四象和八卦的二的冪次方進(jìn)制數對應的十進(jìn)制數。圖5是用十進(jìn)制數標識的先天八卦圖。

 圖5：用十進(jìn)制標識的先天八卦圖

從圖5中也可以看到用十進(jìn)制表示先天八卦中各卦后，八卦圖中相對應兩卦：乾坤、兌艮、離坎、震巽卦的和都是十進(jìn)制數21。還可以看到從乾卦逆時(shí)針的乾、兌、離、震四卦對應的十進(jìn)制數7、11、9、13都是奇整數，從巽卦開(kāi)始順時(shí)針的巽、坎、艮坤四卦對應的十進(jìn)制數8、12、10、14都是偶整數。這是從先天八卦轉換出來(lái)的非常有創(chuàng )新意義的數據結構。

四、二的冪次方進(jìn)制數標識八卦生無(wú)窮

二的冪次方進(jìn)制數是將古人用陽(yáng)爻“—”和陰爻“- -”兩個(gè)符號表述：無(wú)極生太極、太極生二儀、二儀生四象、四象生八卦、八卦生無(wú)窮的生變過(guò)程，用現代人習慣的用1代替陽(yáng)爻“—”，用2代替陰爻“- -”后再次標識產(chǎn)生，與古人用爻表示是一一對應的。因此，二的冪次方進(jìn)制數不是新發(fā)明，僅用新符號表示先前已存在的數據結構。

從圖2、圖3中可以看到太極生八卦圖是以太極為根的二叉樹(shù)。由太極生出兩個(gè)子結點(diǎn)：奇數結點(diǎn)和偶數結點(diǎn) 分別為二儀。用陽(yáng)爻“—”表示奇數結點(diǎn)陽(yáng)儀，用陰爻“- -”表示偶數結點(diǎn)陰儀。再生變，兩儀又做父結點(diǎn)，各生出兩節點(diǎn)分別為四象。再生變，四象又做父結點(diǎn)，各生出兩節點(diǎn)分別為八卦。然后再生變，八八生六十四卦，乃至可生出無(wú)窮。將此種結構的二叉樹(shù)，定義為整數二叉樹(shù)。圖6為古人的六十四卦圖。

圖6：六十四卦圖

用1代替a，用2代替b，并且n=1、2、3……，展開(kāi)二項式公式(a+b)ⁿ可得到如下結果：

(a+b)¹=(1+2)¹=1+2

(a+b)²=(1+2)²=(1+2) (1+2)=11+21+12+22

(a+b)³=(1+2)³=(1+2)²(1+2)=( 11+21+12+22) (1+2)

=111+211+121+221+112+212+122+222

…………

   將上述每次二項式公式展開(kāi)得到的數，看做是二的冪次方進(jìn)制數，將第1式展開(kāi)數1、2擺在上層，再將后兩式展開(kāi)數，依此按層向下排列如下：

用陽(yáng)爻“—”和陰爻“- -”分別代替展開(kāi)結果中各項的1和2。然后將替代后的每個(gè)爻的組合，按最左側爻在上，最右側爻在下的順序排，就可看到與圖3：古代太極生兩儀、兩儀生四象、四象生八卦相同圖。由此，可以證明二的冪次方進(jìn)制數與先天八卦的對應關(guān)系。圖7是用二的冪次方進(jìn)制數和對應十進(jìn)制數表示的六十四卦圖。

  圖7：用二的冪次方進(jìn)制數和對應十進(jìn)制數表示的六十四卦

將圖7最外層每個(gè)二的冪次方進(jìn)制數與圖6中六十四卦所對應的每個(gè)卦相比較，可以看到都是一一對應相同的。只是用1或2表示，還是用陽(yáng)爻“—”和陰爻“- -”表示的不同。

從圖7中的中心園的1和2到最外層圓的各二的冪次方進(jìn)制數是按一生二的規則生變的，而且非常簡(jiǎn)單。每個(gè)奇數子結點(diǎn)的二的冪次進(jìn)制數是其父結點(diǎn)二的冪次方進(jìn)制數前放置1產(chǎn)生，每個(gè)偶數數子結點(diǎn)的二的冪次進(jìn)制數是其父結點(diǎn)二的冪次方進(jìn)制數前放置2產(chǎn)生。這與用爻表示太極生二儀、二儀生四象、四象生八卦、八卦生無(wú)窮的生變過(guò)程：即每生變一次結果是在生變前的用爻表示的圖形上添畫(huà)一個(gè)陽(yáng)爻“—”產(chǎn)生左邊（奇數）子圖形，添畫(huà)一個(gè)陰爻“- -”產(chǎn)生右邊（偶數）子圖形是完全一樣的。用二的冪次方進(jìn)制數標識太極生八卦、八卦生無(wú)窮會(huì )更直觀(guān)。

引入二的冪次方進(jìn)制數的更重要意義是，可以用數學(xué)計算與先天八卦生變過(guò)程對應的數據結構：整數二叉樹(shù)。

五、先天八卦揭示的整數二叉樹(shù)

將圖3太極生八卦圖中的太極用0代替，并將二儀、四象和八卦圖形去掉，再多生變一次（多顯示一層整數二叉樹(shù)），可得到圖8所示的整數二叉樹(shù)最頂的四層結點(diǎn)的數據結構。

圖8：用二的冪次方進(jìn)制數和十進(jìn)制表示的四層整數二叉樹(shù)

圖8中圓圈為整數二叉樹(shù)的每個(gè)結點(diǎn)，圓圈內上部數字為用二的冪次方進(jìn)制數表示出的整數的結點(diǎn)代碼，下部數字為與結點(diǎn)代碼對應的十進(jìn)制整數。字母N表示整數樹(shù)的層數，字母R表示各父結點(diǎn)與子結點(diǎn)的差值。

整數二叉樹(shù)最頂的父結點(diǎn)是整數二叉數的根，其結點(diǎn)代碼和對應十進(jìn)制數都為0。由根的父結點(diǎn)生長(cháng)（生變）出二個(gè)子結點(diǎn)1和2結點(diǎn)，由此不斷生長(cháng)，長(cháng)成無(wú)限層的整數二叉樹(shù)。

整數二叉樹(shù)上每個(gè)子結點(diǎn)值的生長(cháng)公式為M_N+1 = M_N + X*2^N，這是一個(gè)遞歸方程式，其中X={1,2}，X是數字符號，代表整數二叉樹(shù)的2個(gè)子結點(diǎn)數。N={0,1,2,…}, N是整數分布的層數，M_N 為第N層一個(gè)父結點(diǎn)的整數值，M_N+1 是要計算出的M_N的子結點(diǎn)整數值。當N=0時(shí)，M_N =0，它表示整數二叉樹(shù)的開(kāi)始，對于N>0的任何一個(gè)M_N ，其子整數有并且必須有2個(gè)，分別為M_N+1 = M_N + 1*2^N，M_N+1 = M_N + 2*2^N。

從圖8中可以看到整數二叉樹(shù)有以1為父結點(diǎn)的全部各層結點(diǎn)都為奇數的子結點(diǎn)分叉樹(shù)和以2為父結點(diǎn)的全部各層結點(diǎn)都為偶數的子結點(diǎn)分叉樹(shù)。這是整數二叉樹(shù)數據結構的重要特點(diǎn)。理論上整數二叉樹(shù)還應有負奇數和負偶數兩個(gè)分叉樹(shù)，在此不做推論。

從整數二叉樹(shù)的圖8中可以明顯看到一些規律：

1、整數按奇數和偶數有規則地組成為兩個(gè)分叉樹(shù)。

2、每層的結點(diǎn)數為2^N個(gè)，N為層數。

3、每個(gè)父結點(diǎn)有兩個(gè)子結點(diǎn)：奇數子結點(diǎn)和偶數子結點(diǎn)。父結點(diǎn)與奇數子結點(diǎn)間的差值R= 2 ^N，與偶數子結點(diǎn)的差值R=2* 2 ^N，N為父結點(diǎn)的層數。

4、兩個(gè)子結點(diǎn)之間差值為父結點(diǎn)與奇數結點(diǎn)的差值R=2 ^N，N為父結點(diǎn)的層數。

5、每層各結點(diǎn)的二的冪進(jìn)制數結點(diǎn)代碼的位數都等于該層的層數N。

6、每層各結點(diǎn)的二的冪進(jìn)制數結點(diǎn)代碼值都等于該結點(diǎn)十進(jìn)制整數值。

7、每層各結點(diǎn)的二的冪進(jìn)制數結點(diǎn)代碼和對應十進(jìn)制整數值的位置固定不變等等。

對整數二叉樹(shù)進(jìn)行深入的研究，會(huì )對整數產(chǎn)生更多的認識和新的算法。支撐北斗時(shí)空碼的無(wú)限天量編碼可通過(guò)快速計算產(chǎn)生存儲地址的索引系統的核心技術(shù)，主要源自上述整數二叉樹(shù)的規律。

例如，要對整數28進(jìn)行存取的操作，先將28通過(guò)計算轉換成二的冪次方進(jìn)制數（注1）2212，實(shí)際2212已是28的存取地址碼。然后可采用多種方法可找出存取28的結點(diǎn)。方法一是通過(guò)2212可知28存取得結點(diǎn)在整數二叉樹(shù)的第4層，直接到該層用某種算法去找。方法二是從28算出的二的冪次方進(jìn)制數2212的最右側（最低位）數開(kāi)始，逐位判別是1還是2，決定從根結點(diǎn)0開(kāi)始判別位是1向左下行至下一層結點(diǎn)，是2向右下行至下一層結點(diǎn)，以此類(lèi)推，一個(gè)整數計算得出幾位二的冪次方進(jìn)制數就判轉幾次，最后到達的結點(diǎn)必是要找的結點(diǎn)。

繼續以2212為例，從根結點(diǎn)開(kāi)始，因2212最右數為2，要先右下行一層，2212的右數第二數為1，再左下行一層，然后2212右數第3和第4數都為2，再連續右下行兩層，就到整數28要存取的結點(diǎn)（圖8中第四層的從左數第12個(gè)結點(diǎn)），此結點(diǎn)永遠是存取28這一整數的結點(diǎn)。

客觀(guān)存在的事實(shí)是：無(wú)論多大和多小的整數，在整數二叉樹(shù)上都固定有自己對應的結點(diǎn)。此結點(diǎn)的地址碼就是該整數的二的冪次方進(jìn)制數。

六、整數無(wú)窮叉樹(shù)與無(wú)窮冪次方進(jìn)制數

數學(xué)源于自然數的計數。數學(xué)的發(fā)展，在自然數的基礎上陸續派生出整數、實(shí)數、虛數等等。整數是目前用的最多的數。整數是公差為1的整數等差數列，也可看做整數一叉樹(shù)。如圖9所示：

圖9：整數一叉樹(shù)    

 整數一叉樹(shù)的層數N=0、1、2、3、4……，每層結點(diǎn)數為1^N，都是1個(gè)。各結點(diǎn)的差值R=1^N，也都為1。子結點(diǎn)的生長(cháng)公式為M_N+1 = M_N + X*1^N。式中M_N為M_N+1的父結點(diǎn)，N=0時(shí)M_N為0，X為子結點(diǎn)數，此處為1。對于N>0的任何一個(gè)M_N ，其子結點(diǎn)有并且必須有1個(gè)。

 圖10是用十進(jìn)制數表示的整數二叉樹(shù)。圖中N=3層用深色底標出的八個(gè)結點(diǎn)中的數，就是先天八卦排列的八個(gè)卦對應的十進(jìn)制數。從圖中可以清楚地看到先天八卦在整數二叉樹(shù)上的位置。

圖10：用十進(jìn)制數表示的整數二叉樹(shù)

整數二叉樹(shù)用于數據存取地址索引的方法，在數據量少時(shí)，顯不出優(yōu)勢。但是在數據量很大時(shí)索引速度還不會(huì )很快。這是因為，N層整數二叉樹(shù)上的結點(diǎn)個(gè)數Z的計算公式為：Z=2*2^N -1。如果事先知道要處理的最大整數值時(shí)，用此公式可算出至少需要多少層的整數二叉樹(shù)。當整數二叉樹(shù)層過(guò)多時(shí)，用在整數二叉樹(shù)的查找方法，查找整數Z的速度會(huì )較慢。

可以推論：整數以一叉樹(shù)、二叉樹(shù)數據結構排列外，同樣可以按多叉數，乃至無(wú)窮叉樹(shù)排列，而且各個(gè)叉樹(shù)的特點(diǎn)和規律相同。圖11是整數三叉樹(shù)的上三層各結點(diǎn)排列圖。

圖11：整數三叉樹(shù)的上三層各結點(diǎn)排列

整數三叉樹(shù)上每個(gè)子結點(diǎn)值的生長(cháng)公式為M_N+1 = M_N + X*3^N，其中X={1,2，3}，X是數字符號，代表整數三叉樹(shù)的3個(gè)子結點(diǎn)數。N={0,1,2,…}, N是整數分布的層數，M_N 為第N層一個(gè)父結點(diǎn)的整數值，M_N+1 是要計算出的M_N的子結點(diǎn)整數值。當N=0時(shí)，M_N =0，它表示整數三叉樹(shù)的開(kāi)始，對于N>0的任何一個(gè)M_N ，其子結點(diǎn)有并且必須有3個(gè)，分別為M_N+1 = M_N + 1*3^N，M_N+1 = M_N + 2*3^N，M_N+1 = M_N + 3*3^N。

圖12是整數四叉樹(shù)的上三層各結點(diǎn)排列圖。

整數四叉樹(shù)上每個(gè)子結點(diǎn)值的生長(cháng)公式為M_N+1 = M_N + X*4^N，其中X={1,2，3，4}，X是數字符號，代表整數三叉樹(shù)的4個(gè)子結點(diǎn)數。N={0,1,2,…}, N是整數分布的層數，M_N 為第N層一個(gè)父結點(diǎn)的整數值，M_N+1 是要計算出的M_N的子結點(diǎn)整數值。當N=0時(shí)，M_N =0，它表示整數四叉樹(shù)的開(kāi)始，對于N>0的任何一個(gè)M_N ，其子結點(diǎn)有并且必須有4個(gè)，分別為M_N+1 = M_N + 1*4^N，M_N+1 = M_N + 2*4^N，M_N+1 = M_N + 3*4^N，M_N+1 = M_N + 4*4^N。

圖12：整數四叉樹(shù)的上三層各結點(diǎn)排列

    以整數三叉樹(shù)和四叉樹(shù)產(chǎn)生為例，可以得到整數五叉樹(shù)、六叉樹(shù)……Y叉樹(shù)，直至無(wú)窮叉樹(shù)。

同樣以二的冪次方進(jìn)制數引入方式，可以引入三的冪次方進(jìn)制數、四的冪次方進(jìn)制數……Y的冪次方進(jìn)制數，直至無(wú)窮的冪次方進(jìn)制數。

表2是十進(jìn)制1至16與對應三的冪次方進(jìn)制數和四的冪次方進(jìn)制數對照表。      

表2：十進(jìn)制1至16與對應三和四的冪次方進(jìn)制數對照

七、結論

一、由先天八卦的生變過(guò)程推導出的整數二叉樹(shù)是整數的一種數據結構。

二、除整數二叉樹(shù)外還有從一叉樹(shù)到無(wú)窮叉樹(shù)，統稱(chēng)整數樹(shù)或整數森林。

三、整數森林中任何一個(gè)Y叉樹(shù)都有無(wú)窮多個(gè)結點(diǎn)。

四、任何一個(gè)整數Y叉樹(shù)第N層及其上面各層的結點(diǎn)總數Z=2*Y^N -1。

五、任何一個(gè)整數Y叉樹(shù)都有一個(gè)與其所有結點(diǎn)位置相對應的Y的冪次方進(jìn)制數。

六、任何一個(gè)整數Y叉樹(shù)上每個(gè)子結點(diǎn)值的生長(cháng)公式為M_N+1 = M_N + X*Y^N，其中X={1,2，3……Y}，X是數字符號，代表整數Y叉樹(shù)的Y個(gè)子結點(diǎn)數。N={0,1,2,…}, N是整數分布的層數，M_N 為第N層一個(gè)父結點(diǎn)的整數值，M_N+1 是要計算出的M_N的子結點(diǎn)整數值。當N=0時(shí)，M_N =0，它表示整數Y叉樹(shù)的開(kāi)始，對于N>0的任何一個(gè)M_N ，其子整數有并且必須有一個(gè)，分別為M_N+1 = M_N + 1*Y^N，M_N+1 = M_N + 2*Y^N……M_N+1 = M_N + Y*Y^N。

七、任何一個(gè)整數Y叉樹(shù)上每層的結點(diǎn)數為Y^N個(gè)，N為層數。

八、任何一個(gè)整數Y叉樹(shù)上每個(gè)父結點(diǎn)有Y個(gè)子結點(diǎn)。父結點(diǎn)與第1子結點(diǎn)間的差值R= Y ^N，與第2子結點(diǎn)的差值R=2* Y^N，……與第Y個(gè)子結點(diǎn)的差值R=Y* Y ^N， N為父結點(diǎn)的層數。

 九、任何一個(gè)整數Y叉樹(shù)上兩個(gè)子結點(diǎn)之間差值為父結點(diǎn)與第1子結點(diǎn)的差值R=Y ^N，N為父結點(diǎn)的層數。

十、任何一個(gè)整數Y叉樹(shù)上每層各結點(diǎn)的Y的冪進(jìn)制數結點(diǎn)代碼的位數都等于該層的層數N。

十一、任何一個(gè)整數Y叉樹(shù)上每層各結點(diǎn)的Y的冪進(jìn)制數結點(diǎn)代碼值都等于該結點(diǎn)對應十進(jìn)制整數值。

十二、任何一個(gè)整數Y叉樹(shù)上每層各結點(diǎn)的Y的冪進(jìn)制數結點(diǎn)代碼和對應十進(jìn)制整數值的位置固定不變等等。

不斷研究和應用整數無(wú)窮叉樹(shù)的特性和規律，選用適合的某一整數多叉樹(shù)，可以對大數據、無(wú)窮天量數據進(jìn)行快速管理。

幾千年來(lái)，人類(lèi)對整數一叉樹(shù)的研究中，逐步建立了現代數學(xué)。一葉先天八卦，揭示整數森林。邁入整數森林，能否尋找到未來(lái)數學(xué)寶藏，還需更多人去探索。

注1：在網(wǎng)上可查閱“用整數樹(shù)的研究成果  探索軟件的創(chuàng )新發(fā)展”一文。