網(wǎng)格階數詳解：高階網(wǎng)格生成

主要內容：

·        什么是高階網(wǎng)格；

·        為什么網(wǎng)格曲線(xiàn)化比提升階數更重要；

·        高階網(wǎng)格相比于線(xiàn)性網(wǎng)格的優(yōu)勢；

·        如何從線(xiàn)性網(wǎng)格創(chuàng )建高階網(wǎng)格。

圖中兩個(gè)渦輪葉片是一個(gè)線(xiàn)性混合網(wǎng)格（六面體，四面體等）。高階網(wǎng)格的劃分能夠在一些關(guān)鍵面上在不損失網(wǎng)格精度的情況下降低網(wǎng)格數量（圖片：Cadence）

任何時(shí)候針對任何復雜系統進(jìn)行數值模擬時(shí)，控制方程與幾何模型都需要經(jīng)過(guò)不同程度的離散化處理。在 CFD 模擬中，網(wǎng)格劃分將系統幾何模型離散化，創(chuàng )建一組被用于控制方程計算的節點(diǎn)?，F代 CFD 的一個(gè)挑戰是在模擬中如何做到求解高精度、網(wǎng)格高分辨率和低計算資源耗費的平衡。為了達到這一目標，很多網(wǎng)格生成方法的開(kāi)發(fā)都意圖在處理復雜幾何圖形的同時(shí)不增加計算復雜性。

在 CFD 模擬使用的多種網(wǎng)格生成方法中，高階網(wǎng)格是一種能夠實(shí)現精度、分辨率和計算成本平衡的有效方法。高階網(wǎng)格劃分的目標是利用高階多項式曲線(xiàn)的優(yōu)勢為 CFD 計算創(chuàng )建網(wǎng)格，從而實(shí)現在復雜系統環(huán)境下提供比線(xiàn)性網(wǎng)格更高的精度。高階網(wǎng)格是如何生成的？就計算精度和計算復雜性而言又是如何在線(xiàn)性網(wǎng)格上疊加實(shí)現的？您可以在下文中找到答案。

網(wǎng)格階數的定義

高階網(wǎng)格是將相鄰的網(wǎng)格節點(diǎn)用大于 1 階（線(xiàn)性）的多項式曲線(xiàn)相連。理解高階網(wǎng)格最容易的方法是將其與線(xiàn)性網(wǎng)格做比較。在線(xiàn)性網(wǎng)格中，幾何圖形的網(wǎng)格單元是由一組連接網(wǎng)格節點(diǎn)的直線(xiàn)構成；而高階網(wǎng)格則用非線(xiàn)性多項式函數（如二次方程）連接網(wǎng)格節點(diǎn)，所以這項技術(shù)被稱(chēng)作“網(wǎng)格曲線(xiàn)化”。

采用網(wǎng)格曲線(xiàn)化或高階網(wǎng)格生成技術(shù)的 CFD 網(wǎng)格生成軟件通常采用二次到四次多項式。如果將相同技術(shù)用于一次多項式，則會(huì )返回到線(xiàn)性網(wǎng)格，因此網(wǎng)格曲線(xiàn)化才是一種相對廣義的網(wǎng)格生成技術(shù)。網(wǎng)格曲線(xiàn)化有很多幾何和數學(xué)上的優(yōu)勢，但最主要的優(yōu)點(diǎn)還是在于計算方法。

線(xiàn)性網(wǎng)格 vs. 高階網(wǎng)格

下圖所示的系統是在葉片表面和邊界層區域使用線(xiàn)性網(wǎng)格的渦輪葉片網(wǎng)格分布?？梢钥吹?，在越接近葉片根部邊緣處，網(wǎng)格密度越高。這樣做是為了精確的模擬葉片表面彎曲形狀以及沿表面邊界層的梯度變化。在線(xiàn)性坐標系統中，梯度越靠近表面就會(huì )越大，網(wǎng)格密度也會(huì )隨著(zhù)梯度的變大而增加。

圖中示例的線(xiàn)性網(wǎng)格可以用高階網(wǎng)格生成技術(shù)優(yōu)化（圖片：Cadence）

通過(guò)網(wǎng)格曲線(xiàn)化技術(shù)，我們可以生成更符合渦輪葉片表面曲度變化的網(wǎng)格，且無(wú)需增加網(wǎng)格密度。在線(xiàn)性網(wǎng)格中，高彎曲度的表面需要高密度網(wǎng)格才能獲得所需精度。同時(shí)，由于數值算法中的運算數量會(huì )隨著(zhù)網(wǎng)格密度增加而規模性增加，所以運算時(shí)間也會(huì )更長(cháng)。

基于線(xiàn)性網(wǎng)格創(chuàng )建高階網(wǎng)格

高階網(wǎng)格可以基于現有的線(xiàn)性網(wǎng)格通過(guò)插值法創(chuàng )建?；貧w分析被用于確定多項式模型或者等效樣條模型的系數然后用插值方法給出兩端點(diǎn)間的數據點(diǎn)，并將這些數據點(diǎn)賦予曲線(xiàn)網(wǎng)格以符合多項式模型。高階網(wǎng)格生成要將類(lèi)似的過(guò)程用于線(xiàn)性網(wǎng)格（不管是結構化網(wǎng)格還是混合網(wǎng)網(wǎng)格），以便提取與多項式曲線(xiàn)相關(guān)的連續點(diǎn)多項式曲線(xiàn)。

讓我們來(lái)看下面的圖示，線(xiàn)性網(wǎng)格被用于描述有曲度變化的渦輪葉片表面。在對線(xiàn)性網(wǎng)格設定邊界條件后，利用算法將線(xiàn)性網(wǎng)格的節點(diǎn)與多項式曲線(xiàn)匹配關(guān)聯(lián)。CFD 工程師可以自行選擇最適合模擬需求的多項式網(wǎng)格階數。針對一些具有特殊多項式曲率的曲面，生成的多項式曲線(xiàn)網(wǎng)格也可以很好的符合葉片表面的曲度變化，且不需要線(xiàn)性網(wǎng)格那樣高密度網(wǎng)格節點(diǎn)分布。

完成相關(guān)表面的多項式曲線(xiàn)定義后，可以用插值法高效生成任意密度的網(wǎng)格。網(wǎng)格的精度可以通過(guò)調整插值后的網(wǎng)格密度或不同的插值方法來(lái)進(jìn)一步優(yōu)化。下圖左可見(jiàn)插值后高階網(wǎng)格的示例。下圖右可以看到一些插值法可能在生成的插值網(wǎng)格中產(chǎn)生偽影，所以選擇正確的插值方法也是生成高精確曲線(xiàn)網(wǎng)格的關(guān)鍵。

插值后的多項式曲線(xiàn)網(wǎng)格與插值法導致偽影的線(xiàn)性網(wǎng)格（圖片：Cadence）

Cadence Pointwise 網(wǎng)格生成工具可以幫助 CFD 工程師創(chuàng )建復雜幾何模型高精度模擬所需要的高階網(wǎng)格，且不會(huì )顯著(zhù)增加計算復雜性。