CT圖像重建算法的FPGA實(shí)現 (一)

1.3.5國內外研究現狀

同類(lèi)課題所研究的技術(shù)基本上被國外所壟斷，國內尚未有人提出，國內現在所使用的技術(shù)是利用PC機上軟件來(lái)實(shí)現圖像的重構，所需時(shí)間較長(cháng)，如果用FPGA來(lái)實(shí)現的話(huà)，速度可以提高數十乃至上百倍。

1.4研究背景及意義

在當今社會(huì )大力發(fā)展醫療衛生條件的背景下，許多醫院迫切需要先進(jìn)的CT來(lái)為患者診斷病情，現在的CT技術(shù)被國外所壟斷，設備也都在200萬(wàn)以上，只有極少數醫院有能力配備，所以急需研發(fā)具有自主知識產(chǎn)權的產(chǎn)品，把價(jià)格控制在50萬(wàn)以?xún)?。CT的關(guān)鍵技術(shù)之一是快速斷層圖像重建技術(shù)，本課題的立足點(diǎn)就在于利用FPGA的高度并行性，實(shí)現CT斷層圖像重建算法，滿(mǎn)足實(shí)際產(chǎn)品速度要求，為實(shí)現CT國產(chǎn)化準備，推動(dòng)社會(huì )醫療衛生條件的發(fā)展。

第二章 濾波反投影算法

2.1 濾波反投影算法介紹

盡管傅里葉切片定理提供了斷層成像重建的一個(gè)直接方案，在真正實(shí)現過(guò)程中，它提出了一些難題。首先，傅里葉空間中產(chǎn)生的采樣模式不是笛卡兒坐標的。傅里葉切片定理說(shuō)明一次投影的傅里葉變換是二維傅里葉空間中通過(guò)原點(diǎn)的一條直線(xiàn)。結果，不同投影采樣落到極坐標柵格上。為了執行二維傅里葉變換，這些采樣不得不被插值或重新柵格化到一個(gè)笛卡兒坐標中。二維頻率域中的插值不像真實(shí)空間中的插值一樣直接。在真實(shí)空間里，一個(gè)插值誤差局限于像素所在的小區域。然而，對于頻域插值，這個(gè)特性不再有效，因為二維傅里葉空間中每個(gè)采樣表示某一個(gè)空間頻域(在水平和垂直方向上)。于是，在傅里葉空間中一個(gè)單獨采樣點(diǎn)上產(chǎn)生的誤差會(huì )影響整個(gè)圖像(經(jīng)過(guò)傅里葉反變換后)的外貌。為闡明傅里葉域插值的敏感性，進(jìn)行下面的簡(jiǎn)單實(shí)驗。掃描一個(gè)肩部模體，并在512×512矩陣中重建，矩陣用f(x,y)表示，其中x=0，1，…512，y= 0，1，…，512。下一步，執行圖像的二維離散傅里葉變換，得到一個(gè)函數F(u,v)，其中u=0，1，…，511，v=0，1，…，511。注意F(u,v)是一個(gè)512×512復數矩陣。在該矩陣中，F(00)代表圖像的直流成分。如果簡(jiǎn)單地進(jìn)行函數F(u,v)的離散傅里葉反變換，將得到原始圖像f(x,y)。注意函數F(u,v)是我們試圖采用平行投影進(jìn)行估計的量值(傅里葉切片定理)。

直接傅里葉域重建的另一缺點(diǎn)是進(jìn)行目標重建的困難性。目標重建是在CT中常用的技術(shù)，用來(lái)檢查物體中一個(gè)小區域的精密細節。如果能以某種方式把重建“聚焦”在感興趣區，物體的細節就可以更好地顯現。采用直接傅里葉重建方法，需要用大量的0填充F(u,v)，以進(jìn)行必要的頻率域插值。傅里葉反變換的大小和目標ROI的尺寸成反比。對非常小的ROI，矩陣尺寸龐大以至無(wú)法管理。盡管其他技術(shù)可以用來(lái)克服其中一些困難，這些技術(shù)的實(shí)現仍不直截了當。因此，必須研究傅里葉切片定理的替代實(shí)現方法。濾波反投影算法是目前得到廣泛應用的基于變換法的圖像重建算法，它具有重建速度快、空間和密度分辨率高等優(yōu)點(diǎn)，缺點(diǎn)是對投影數據的完備性要求較高[7]，從數學(xué)上講，只有獲得被檢試件所有的Radon變換數據(完全投影數據)后才能精確重建其切片圖像。

2.2 濾波反投影算法公式的推導

我們從傅里葉變換和傅里葉反變換是共扼算子這一眾所周知的事實(shí)開(kāi)始。圖像函數f(x,y)可以通過(guò)傅里葉反變換從它的傅里葉變換F(u,v)中恢復，

(2.1)

與推導傅里葉切片定理時(shí)進(jìn)行的坐標變換類(lèi)似，我們從笛卡兒直角坐標(u,v)轉換到極坐標

。

坐標轉換的目的是以更自然的數據采集形式表達數值F(u,v)。坐標轉換如下：

，

， (2.2)

和

(2.3)

將等式(2.2)和(2.3)帶入到(3.1)，得到

(2.4)

利用公式

中描述的傅里葉切片定理，我們用代替，建立如下關(guān)系：

(2.5)

.

對于平行采樣幾何束，在投影采樣中存在一個(gè)微妙的對稱(chēng)性：

(2.6)

通過(guò)研究一組相差180°的平行束的采樣幾何，這個(gè)特性可以很容易理解。兩組投影正好代表同一組射線(xiàn)路徑?；诟道锶~變換的特性，對于相應的傅里葉變換對來(lái)說(shuō)，存在一個(gè)簡(jiǎn)單關(guān)系：

(2.7)

將等式(2.7)代入等式(2.5)，我們得到下面等式：

(2.8)

通過(guò)在旋轉坐標系(s,t)中表達上面的等式，并利用等式：

.

中指出的關(guān)系，我們得到下面等式：

. (2.9)

這里，是在角度投影的傅里葉變換。內部積分是數值的傅里葉反變換。在空間域，它代表一個(gè)經(jīng)頻域響應為的函數濾波后的投影。我們稱(chēng)之為“濾波投影”。

如果用標記等式(2.9)的內部積分所代表的角上的濾波投影：

. (2.10)

等式(2.8)可以下面形式重寫(xiě)

(2.11)

變量是從點(diǎn)(x,y)到一條通過(guò)坐標系原點(diǎn)，并與x軸成角的直線(xiàn)的距離。等式(2.11)說(shuō)明，重建圖像f(x,y)在位置(x,y)，是通過(guò)該點(diǎn)的所有濾波投影采樣的累加。另外，我們還可以選擇關(guān)注一個(gè)特定濾波投影采樣，研究它對重建圖像的貢獻。因為代表與產(chǎn)生投影采樣的射線(xiàn)路徑重疊的一條直線(xiàn)，的強度沿著(zhù)直線(xiàn)均勻地加到重建圖像。結果，濾波投影采樣的值沿著(zhù)整個(gè)直線(xiàn)路徑被“涂抹”或“疊加”。

我們還可以給出濾波反投影方法的一個(gè)直觀(guān)解釋?；诟道锶~切片定理，物體的二維傅里葉變換是通過(guò)將許多一維傅里葉變換拼起來(lái)得到的。理論上，如果假定一次投影的傅里葉變換形狀像一個(gè)切成薄片的“派”，我們可以簡(jiǎn)單地把每個(gè)楔子插入適當位置，以得到物體的一個(gè)二維傅里葉變換。不幸的是，每個(gè)投影傅里葉變換形狀類(lèi)似在頻率空間的一個(gè)長(cháng)條。如果簡(jiǎn)單地計算所有投影傅里葉變換的和(假設在角度上等間隔)，中心區域被人為地增強，而外側區域數值不足。為了用條形區域估計“派”狀區域，我們可以給條形傅里葉變換乘以一個(gè)函數，該函數在靠近中心位置強度低，靠近邊緣時(shí)強度高。例如，可以將投影的傅里葉變換與該頻率處“派”狀楔子的寬度相乘。如果假設N個(gè)投影在180°內均勻間隔，每個(gè)楔子的寬度在頻率是。權重函數的最終作用是加權長(cháng)條的累加與“派”狀楔子的累加具有相同的“質(zhì)量”。[8]