變形耦合發(fā)電機混沌系統的追蹤控制研究

0 引 言

混沌系統的控制和同步是當前自然科學(xué)基礎研究的熱門(mén)課題，它在通信、信息科學(xué)、醫學(xué)、生物、工程等領(lǐng)域得到了廣泛的應用，各種控制和同步方法也應運而生。在混沌控制研究中，追蹤問(wèn)題是研究的一個(gè)熱點(diǎn)。追蹤問(wèn)題即通過(guò)施加控制使受控系統的輸出信號達到事先給定的參考信號，更具有一般性。特別是，如果追蹤的參考信號是由混沌系統產(chǎn)生的，這種追蹤控制便演化成為驅動(dòng)系統和響應系統的同步，它包括自同步和異結構同步，這方面的工作已經(jīng)有了許多研究。電網(wǎng)之間的互聯(lián)是現代電力系統發(fā)展的必然趨勢，它將使電網(wǎng)的發(fā)電和輸電變得更經(jīng)濟、更高效。與此同時(shí)，電力系統運行的穩定性受到前所未有的挑戰。隨著(zhù)分岔、混沌理論在電力系統非線(xiàn)性動(dòng)力學(xué)行為研究中的應用，人們發(fā)現電力系統中除了低頻振蕩外，還存在混沌振蕩。這種振蕩不僅對系統的穩定具有極強的破壞力，而且不能依靠附加傳統的勵磁控制器來(lái)抑制或消除。自20世紀90年代以來(lái)，國內外許多研究人員對電力系統的分岔、混沌振蕩產(chǎn)生機理進(jìn)行了充分、有益的探討，但對電力系統混沌控制方法的研究尚屬少見(jiàn)。在此針對變形耦合發(fā)電機昆沌系統的結構特點(diǎn)，并基于非線(xiàn)性系統的線(xiàn)性化穩定理論，設計了一個(gè)統一形式的非線(xiàn)性追蹤控制器，可以實(shí)現變形耦合發(fā)電機系統的狀態(tài)變量與任意給定參考信號的廣義同步。該控制器簡(jiǎn)單、易于實(shí)現。

1 系統模型

耦合發(fā)電機系統由一個(gè)具有混沌特征的三維自治方程組來(lái)描述，它是由連接在一起的2臺發(fā)電機組成，其中任何一臺發(fā)電機都處于另一臺發(fā)電機產(chǎn)生的電流所形成的磁場(chǎng)之中。文獻在基于耦合發(fā)電機系統的基礎上，給出了變形耦合發(fā)電機系統：

式(1)中，u和a是正的控制參數，當u=2和a=1時(shí)系統出現混沌行為。圖1所示為系統1的典型混沌吸引子。由圖可見(jiàn)，系統1的混沌吸引子除具有低維混沌吸引子的一般特點(diǎn)外，還具有其獨特之處；吸引子的二維投影具有更復雜的折疊和拉伸軌線(xiàn)。這說(shuō)明系統1在局部上比低維混沌系統具有更強的不穩定性。這使得對系統1的控制難度大大增加。

2 控制器的設計

對系統1施加控制，使系統的狀態(tài)變量xi(i=1，2，3)追蹤給定參考信號，受控后的系統方程為：

不論參考信號的形式如何，設計如下統一形式的控制器：

式中，r1，r2，r3為給定參考信號。

定理 對于受控系統2，當采用式(3)所示的控制器時(shí)，系統狀態(tài)變量xi(i=1，2，3)可以追蹤任意連續可微的參考信號ri(i=1，2，3)。

證明 設追蹤誤差變量為ei=xi一ri(i=1，2，3)，結合式(2)和式(3)，可得追蹤誤差系統為：

式(4)的平衡點(diǎn)為(0，O，O)。由式(4)可知，誤差變量的零點(diǎn)即為誤差系統的平衡點(diǎn)。式(4)在平衡點(diǎn)處的Ja—cobian陣為：

特征方程為：(λ+u)(λ+u)(λ+1)=O，可解得矩陣J的特征根為λ1=一u，λ2=一u，λ2=一l，由于參數“為正，所以矩陣J的所有特征根均為負數。由非線(xiàn)性系統的線(xiàn)性化穩定理論，誤差系統的零解漸近穩定。即lim|ei|=0。

3 數值仿真

3．1 追蹤常值信號

系統1有5個(gè)平衡點(diǎn)，分別為S0(0，0，0)，S1(1．175 6，一1．902 1，一2．236 1)，S2(一1．175 6，1．902 1，一2．236 1)，S3，4(±1．902 1，±1．175 6，2．236 1)。取參考信號為系統平衡點(diǎn)S1，即r1=1．175 6，r2=一1．902 1，r3=一2．236 1。由式(3)得控制器為：

采用四階龍格庫塔法進(jìn)行數值仿真，系統2的初值為(0．02，0．006，O．001)，仿真步長(cháng)為0．01，仿真結果如圖2所示。由圖可知，系統變量x(t)經(jīng)6 s后追蹤上給定的常值參考信號，廣義同步誤差穩定在零值處。

3．2 追蹤周期信號

取參考信號為正弦周期信號r1=sin 4t，r2=cos 2t，r3=sin t，此時(shí)控制器為：

同樣采用四階龍格庫塔法進(jìn)行數值仿真，系統2的初值為(O．02，O．006，O．001)，仿真步長(cháng)為0．01，仿真結果如圖3所示。由圖可知，變量x1(t)，x2(t)和x3(t)在2 s前追蹤上參考信號，而廣義同步誤差e(t)穩定在零值附近。

3．3 追蹤混沌信號

Lorenz系統是一個(gè)典型的混沌系統，其系統方程為：

系統2的初值為(O．02，0．006，O．001)，Lorenz系統的初值為(O．2，O．07，0．1)，仿真步長(cháng)為0．01，仿真結果如圖4所示。由圖可知，變量x1(t)，x2(t)和x3(t)在7 s前追蹤上參考信號，廣義同步誤差e(t)穩定在零值處。

4 結 語(yǔ)

針對變形耦合發(fā)電機混沌系統的結構特點(diǎn)，并基于非線(xiàn)性系統的線(xiàn)性化穩定理論，設計了一個(gè)統一形式的非線(xiàn)性追蹤控制器。該控制器可以實(shí)現變形耦合發(fā)電機系統的狀態(tài)變量與任意給定參考信號的廣義同步，分別以常值信號，周期信號和混沌信號為參考信息進(jìn)行了數值仿真，仿真結果與理論分析一致。設計的控制器使用范圍很廣，在控制混沌和利用混沌系統進(jìn)行數字保密通信方面有很廣的應用前景。