控制系統的穩定性標準的相關(guān)知識

在電子領(lǐng)域，振蕩器是一種能夠產(chǎn)生自激正弦信號的電路。在多種多樣的配置中，振蕩器的加速過(guò)程牽涉到采用振蕩器的電子電路固有的噪聲。上電時(shí)噪聲等級上升，此時(shí)開(kāi)始振蕩及自激。此類(lèi)電路可采用圖1所示的構成模塊組成。如您所視，此配置看上去非常接近于我們控制系統的配置。

圖1：振蕩器實(shí)質(zhì)上是一種誤差信號，不會(huì )妨礙輸出信號變化的控制系統。

在我們的示例中，勵磁輸入并非噪聲，而是電壓電平Vin，它被注入為輸入變量以啟動(dòng)振蕩器。直接通道由傳遞函數H(s)構成，而返回通道包含G(s)區塊。要分析此系統，我們首先通過(guò)輸出電壓與輸入變量的變化關(guān)系方程式來(lái)寫(xiě)出其傳遞函數：

在此方程式中，乘積G(s)H(s)稱(chēng)作環(huán)路增益，其標記為T(mén)(s)。要將我們的系統轉換為自激振蕩器，則必須存在輸出信號，即使輸入信號已消失。為了滿(mǎn)足這樣的目標，就必須符合下列條件：

圖2：振蕩條件能以波特圖或奈奎斯特圖來(lái)表述。

在滿(mǎn)足這兩個(gè)方程式的條件下，我們就得到穩態(tài)振蕩條件。這就是所謂的巴考森(Barkhausen)標準，由德國物理學(xué)家Barkhause在1921年提出。實(shí)際上講，在一個(gè)控制環(huán)路系統中，它表示修正信號不再抗拒輸出，而是相位形式返回，振幅恰好與勵磁信號相同。方程式(6)和(7) 在波特圖(Bode plot)中表示環(huán)路增益曲線(xiàn)，此曲線(xiàn)穿過(guò)0 dB軸，且恰好在此點(diǎn)受180°相位滯后影響。在奈奎斯特分析中，環(huán)路增益的虛數及實(shí)數部份相對頻率的變化關(guān)系被繪制成圖，此點(diǎn)對應于-1, j0。圖2顯示了滿(mǎn)足振蕩條件的兩個(gè)曲線(xiàn)。如果系統略微偏離這些值(如溫度漂移、增益變化)，輸出振蕩要么會(huì )以指數形式下降至0，要么振幅發(fā)散，直到達到較高或較低的電源軌。在振蕩器中，設計人員竭力盡可能多地降低增益余量，使振蕩條件在多種工作條件下都能滿(mǎn)足。

穩定條件

如您所知，控制系統的目標不是構建振蕩器。我們希望控制系統提供高速、精確及無(wú)振蕩的響應。因此，我們必須避開(kāi)滿(mǎn)足振蕩或發(fā)散條件的配置。一種方式是限制系統會(huì )作出反應的頻率范圍。就定義而言，頻率范圍或帶寬，對應于從輸入到輸出之閉合環(huán)路傳輸通道下降3 dB的頻率。閉合環(huán)路系統的帶寬能被視作頻率范圍，在此范圍內系統被認為會(huì )極佳地響應其輸入(即遵循設定點(diǎn)或有效地抑制擾動(dòng))。我們在后文會(huì )看到，在設計階段，我們并不直接控制閉合環(huán)路帶寬，但會(huì )控制交越頻率(crossover frequency) fc——這是一項跟開(kāi)環(huán)路分析有關(guān)的參數。這兩個(gè)變量通常被概略認為相等，但我們會(huì )看到這僅在一種條件下成立。然而，它們相差得也不太遠，在討論中這兩項能互換。

我們已經(jīng)看到，開(kāi)環(huán)路增益是我們系統中的一項重要參數。當增益存在時(shí)(即|T(s)|>1)，系統以動(dòng)態(tài)閉合環(huán)路工作，能補償輸入的擾動(dòng)或對設定點(diǎn)變化作出反應。然而，系統反應也存在限制：系統必須在擾動(dòng)信號所涉及的頻率提供增益。如果設定點(diǎn)變化的擾動(dòng)太快，勵磁信號的頻率成分就低于系統帶寬，表示這些頻率缺少增益：系統變慢且不會(huì )作出反應，工作狀態(tài)就像環(huán)路對波形變化沒(méi)有響應。那么，是否就要求無(wú)限大的帶寬呢？不是的，因為增加帶寬就象是拓寬漏斗的直徑：您當然可以收集到更多信息，并對輸入振動(dòng)更快地作出反應，但系統也將接收到偽信號(spurious signal)，如轉換器在某些情況下自己產(chǎn)生的噪聲及寄生參數(如開(kāi)關(guān)電源中的輸出漣波)。因此，強制要求將帶寬限制在您應用真正要求的范圍。采用的帶寬太寬將削弱系統的抗噪聲性能(如其抑制外部寄生信號的強固性)。

限制帶寬

我們怎樣限制控制系統的帶寬？方法就是通過(guò)補償器區塊G改變環(huán)路增益曲線(xiàn)。此區塊將確保在一定量的頻率fc后，環(huán)路增益的大小|T(fc)|下降至低于1或0 dB。如同我們所闡述的，一旦環(huán)路閉合，它大致就是您的控制系統的帶寬。發(fā)生此現象時(shí)的頻率稱(chēng)作交越頻率，標作fc。這就是否足夠獲得強健的系統？不是的，我們需要確保另一個(gè)重要參數：幅值為1的點(diǎn)的相位T(s)必須低于-180°。從我們的實(shí)驗來(lái)看，我們已經(jīng)看到當環(huán)路增益在交越頻率處低于-180°時(shí)，我們獲得了朝穩態(tài)收斂的響應。這很明顯是我們控制系統極想要的一種特征。為了確保我們在交越時(shí)避開(kāi)-180°，補償器G(s)必須在選定的交越頻率處訂制環(huán)路幅角(argument)以構建相位余量(phase margin, PM或φm)。相位余量可以被視作一項設計或安全限制，確保在即使存在外部擾動(dòng)或不可避免的生產(chǎn)差異范圍(production spread)的情況下，環(huán)路增益的變化不會(huì )破壞穩定性。我們在后文會(huì )看到，相位余量還會(huì )影響系統的瞬時(shí)響應。因此，相位余量的選擇并不只是取決于穩定性考慮因素，還取決于您期望的瞬時(shí)響應類(lèi)型。相位余量的數學(xué)定義如下所示：

其中T代表開(kāi)環(huán)路增益，其中包括分級的控體H和補償器G增益。