基于Matlab/Simulink的二階控制系統仿真研究

1 二階控制系統模型

能夠用二階微分方程描述的系統稱(chēng)為二階控制系統。在控制工程實(shí)踐中，二階控制系統十分常見(jiàn)，例如，電樞控制的直流電動(dòng)機，RLC網(wǎng)絡(luò )和彈簧-質(zhì)量-阻尼器組成的機械位移系統等。此外，許多高階系統在一定條件下，常常近似地作為二階控制系統來(lái)研究。因此，詳細討論和分析二階控制系統的特性，具有極為重要的實(shí)際意義。典型二階控制系統數學(xué)模型結構如圖1所示。

其閉環(huán)傳遞函數為：

式中：ζ為系統阻尼比;ωn為無(wú)阻尼自然振蕩角頻率，單位為rad/s.二階控制系統的動(dòng)態(tài)特性可由以上兩個(gè)參數描述。二階控制系統在單位階躍信號作用下，其輸出響應可分為以下幾種情況：

(1)當ζ=0時(shí)，二階控制系統為零阻尼狀態(tài)。系統有一對共軛虛根，系統單位階躍響應為無(wú)阻尼等幅振蕩曲線(xiàn)。

(2)當0<ζ<1 時(shí)，二階控制系統為欠阻尼狀態(tài)。系統的極點(diǎn)為共軛復數，位于S 左半平面。系統單位階躍響應由穩態(tài)響應和瞬態(tài)響應兩部分組成，穩態(tài)響應為1,瞬態(tài)響應為振蕩衰減過(guò)程，振蕩角頻率由阻尼比ζ和無(wú)阻尼自然振蕩角頻率ωn決定，并且隨著(zhù)ζ的減小，其振蕩幅度加大。

(3)當ζ=1時(shí)，二階控制系統為臨界阻尼狀態(tài)。系統具有兩個(gè)相同的實(shí)數極點(diǎn)，位于S 左半平面。系統單位階躍響應為無(wú)超調，無(wú)振蕩單調上升的曲線(xiàn)，不存在穩態(tài)誤差。

(4)當ζ>1時(shí)，二階控制系統為過(guò)阻尼狀態(tài)。系統具有兩個(gè)不等的實(shí)數極點(diǎn)，位于S左半平面，系統單位階躍響應與臨界阻尼情況相似，為無(wú)超調，無(wú)振蕩單調上升的曲線(xiàn)，但它的過(guò)渡過(guò)程時(shí)間較之臨界阻尼更長(cháng)。

2 二階控制系統仿真設計與研究

2.1 二階控制系統仿真結構設計

啟動(dòng)Matlab 7.04,進(jìn)入Simulink仿真界面，根據二階控制系統數學(xué)模型結構，設計二階控制系統的Simu-link仿真結構如圖2所示。雙擊各函數模塊，在出現的各參數對話(huà)框內設置相應的參數，仿真時(shí)輸入單位階躍信號，起始時(shí)間為0,分別改變ωn 和ζ的值，點(diǎn)擊simula-tion菜單下的start命令進(jìn)行仿真，雙擊示波器模塊觀(guān)察仿真結果，得到系統的階躍響應曲線(xiàn)，再進(jìn)行分析ωn和ζ對系統動(dòng)態(tài)性能的影響。

2.2 二階控制系統單位階躍響應與參數ζ的關(guān)系

設定ωn=10 rad/s 不變，改變參數ζ分別為0,0.25,1和2的二階控制系統Simulink仿真結構如圖3所示，輸入單位階躍信號，其仿真響應曲線(xiàn)如圖4所示。從圖中實(shí)驗數據分析可以看出，響應曲線(xiàn)由上至下，依次為無(wú)阻尼等幅振蕩曲線(xiàn)，欠阻尼振蕩衰減曲線(xiàn)，臨界阻尼和過(guò)阻尼無(wú)超調單調上升曲線(xiàn)。當0<ζ<1 時(shí)，二階控制系統欠阻尼狀態(tài)ζ變化的階躍響應曲線(xiàn)如圖5所示。隨著(zhù)ζ 的增大，系統單位階躍響應的超調量減少，但上升時(shí)間加長(cháng)，曲線(xiàn)峰值較大，因此，綜合考慮超調量和上升時(shí)間兩個(gè)因素，應選擇ζ 接近最佳阻尼比0.707。

2.3 二階控制系統單位階躍響應與參數ωn的關(guān)系

設定ζ=0.1 不變，改變參數ωn 分別為10 rad/s 和20 rad/s的二階控制系統Simulink仿真結構如圖6所示，輸入單位階躍信號，其仿真響應曲線(xiàn)如圖7所示。從圖中實(shí)驗數據分析可以看出，當ζ=0.1 時(shí)，隨著(zhù)ωn 的增大，系統單位響應的振蕩周期變短，其調整時(shí)間也相應地縮短;當ζ≥1 時(shí)，系統變成臨界阻尼或欠阻尼系統，這時(shí)也有類(lèi)似的結論，圖8所示為當ζ=1時(shí)，ωn分別為10 rad/s和20 rad/s的二階控制系統的階躍響應曲線(xiàn)。

3 結語(yǔ)

基于Matlab/Simulink 環(huán)境的仿真分析方法，通過(guò)Simulink工具箱所提供的基本模塊，不需任何硬件，在單位階躍信號作用，利用仿真實(shí)例很好地實(shí)現了對二階控制系統進(jìn)行仿真研究，直接觀(guān)察和分析二階控制系統輸出性能的變化，驗證了二階控制系統相關(guān)理論的正確性，在二階控制系統實(shí)驗教學(xué)和科研上有很大實(shí)用價(jià)值，充分體現了Matlab/Simulink仿真直觀(guān)和方便的特點(diǎn)。