預測和負延遲濾波器：你應該知道的五件事

所有系統，包括濾波器，都是因果關(guān)系。這意味著(zhù)它們不能在激勵源激勵之前對激勵(不可預知)做出任何反應。那么，又該如何設計一款可“預測”的濾波器呢?好吧，這一切都取決于你對品質(zhì)的期待有多高以及這一預測的相關(guān)性。

那么，我們再次祭起曾非常流行的“五件你應該知道的事”這一招式之旗，我們提出五個(gè)核心問(wèn)題，其答案可以幫助我們繞過(guò)這個(gè)“濾波器”陷阱。

濾波器如何延緩信號?

信息可以通過(guò)多種方式加載于信號，它總是需要一段限定的時(shí)間來(lái)通過(guò)處理系統。你可能很熟悉數字模塊的傳輸延遲概念。延遲，就是在輸入發(fā)生某些狀態(tài)變化到輸出發(fā)生相應狀態(tài)變化這段時(shí)間差。有數字概念的讀者首先想到的可能是一個(gè)‘1’和‘0’的碼流，以作為不同電壓或電流水平的物理表述。對于這樣的信號，傳輸延遲沒(méi)有害處;但當我們考慮到模擬信號(實(shí)際上，沒(méi)有確定的特性對應特定的時(shí)間點(diǎn))時(shí)，就不是那么簡(jiǎn)單了。

我們經(jīng)常對信號和數據序列進(jìn)行低通濾波以消除“噪聲”--高頻率變異，我們已確定其沒(méi)有任何意義，且它還是我們要觀(guān)察的更重要的基本頻點(diǎn)的障礙。雖然濾波過(guò)程對我們的觀(guān)察影響巨大，但它絕對是一個(gè)影響觀(guān)察的案例。當我們查看響應圖形時(shí)，傳統濾波方式最明顯的后果是，在輸入信號的變化和濾波后輸出的相應變化之間有明確的時(shí)間延遲。當我們看一些例子時(shí)，我們將在某一時(shí)刻借助測試信號清楚地看到這點(diǎn)。

我們如何量化這種形式的延遲?

濾波器(或任何其它線(xiàn)性信號處理模塊)輸入信號和相應輸出之間的這種“滯后”，

與組延遲緊密相關(guān)，組延遲相當于(或略低于)相位響應與派生頻率。為此應選用明智的單位;如果你用弧度測量相位，以其每秒弧度的角形式表達頻率，那么，(弧度)除以(弧度每秒)，你就可得到以秒表示的答案?；蛘吣憧梢允褂?ldquo;周期”—— 一個(gè)周期，是一個(gè)完整旋環(huán)，或360度。相位差以周期表示，除以赫茲(與每秒的周期數相同)表示的常規頻率差，也會(huì )給出以秒表述的答案。

我們可能忍不住要問(wèn)：如果要避免這種滯后，為什么不設計一款沒(méi)有任何組延遲的濾波器?如果你以前讀過(guò)我的專(zhuān)欄，你可能會(huì )認識到這句話(huà)中的“危險成分”。因為，你猜對了——它并非這么容易。如果你查找或計算“標準”的低通濾波器響應，你會(huì )發(fā)現，他們的組延時(shí)是總是正向的，一直降到零頻率。這里，我們需要來(lái)點(diǎn)別出心裁。

我們可以消除(或者不僅僅是消除)這種延遲嗎?

如果你想讓延遲在任一頻率都為零，那嚴格的答案是‘不能‘。但確實(shí)有種技術(shù)可用以開(kāi)發(fā)補償濾波器，當其與原來(lái)的濾波器級聯(lián)時(shí)，可以給你零延遲;當DC時(shí)，甚至是負的組延遲。正如我們將看到的，這可能非常有用。你不需要進(jìn)行任何試錯——現在，可將麻煩扼殺在未發(fā)。

比方說(shuō)，某種低通傳遞函數H，它們在DC時(shí)有整體增益?？梢匀菀椎卣撟C：新傳遞函數H’ = 2-H，在DC時(shí)也是整體增益，且在DC時(shí)的組延遲具有與H相同的

幅值，但卻是負值。如果你級聯(lián)H和H‘(即串聯(lián)它們)，你會(huì )得到一個(gè)整體傳遞函數，我們稱(chēng)其為H1，它具有DC整體增益和DC零組延時(shí)。對于S或Z域的任何線(xiàn)性傳遞函數來(lái)說(shuō)，H1就等于HH’，即H1 = H(2-H)。無(wú)論哪類(lèi)濾波器，只要H是可實(shí)現的，這也就可以實(shí)現。

這看起來(lái)似乎很怪誕。因為函數H‘與H的階相同(無(wú)論使用模擬或數字濾波器)，你可以看到，將其組合起來(lái)會(huì )使濾波器的尺寸加倍，因此實(shí)現其所需的資源也要加倍。也許不太容易想象的是，它可能會(huì )大大降低濾波器的衰減性能。如果H是一個(gè)具有DC整體增益的低通函數，而在所有其它頻率也具有整體增益(或小于整體增益)，那么函數2-H就有一個(gè)會(huì )在1和3之間振蕩的值，也就是說(shuō)，它可以在響應中引入一個(gè)高達9.5dB的“凸點(diǎn)”。如果該凸點(diǎn)落于整體濾波器的阻帶內，那么所發(fā)生的一切就只是衰減功能的惡化。如果凸點(diǎn)落在通帶內，那么該級聯(lián)的整個(gè)通帶內的響應會(huì )與單個(gè)H時(shí)的大相徑庭。

這里有個(gè)簡(jiǎn)單例子。對以100kps采樣率數字方式實(shí)現的H，在10kHz時(shí)，以n=2的巴特沃斯濾波器開(kāi)始。為了設計濾波器并獲得圖表，我使用了新版(2012年2月發(fā)布)的PSoC Creator濾波器工具，它為H給出了以下系數，幅度和組延時(shí)曲線(xiàn)在圖1表示。

雙二階濾波器的最終系數：

系數序列為A0，A1，A2，B1和B2

0.0674552917480469

0.134910583496094

0.0674552917480469

-1.14298057556152

0.412801742553711

圖1：0.01 Fs時(shí)，N=2的巴特沃斯濾波器的幅度和組延時(shí)。

補償濾波器H’與H同分母，而分子等于兩個(gè)負數(H的分子)。我用快速電子表格進(jìn)行了計算，并將結果反饋給PSoC Creator濾波器工具。工具為這兩個(gè)雙二階部分給出了最好的排序和增益;它獲得了4dB增益，以確保凸點(diǎn)響應不高于0dB，見(jiàn)圖2：

雙二階濾波器的最終系數：

系數序列為：A0，A1，A2，B1和B2

0.216065168380737

-0.2706618309021

0.0847635269165039

-1.14298057556152

0.412801742553711

0.372884273529053

0.745768547058105

0.372884273529053

-1.14298057556152

0.412801742553711

圖2：帶補償濾波器的N=2巴特沃斯級聯(lián);零DC組延遲

在通帶內，頻率響應明顯是非平坦(內有凹凸)的，而且已經(jīng)放棄了一些相對阻帶抑制。如果你熟悉控制系統理論，你馬上會(huì )看到，我們得到的是增加的傳遞函數零，其組延時(shí)的貢獻準確取消了原始的濾波器極點(diǎn)(以及新極點(diǎn)也會(huì )出現)。但它并非太過(guò)糟糕的一個(gè)響應——它仍能去掉數據序列的高頻率噪聲——如圖3所示，某些神秘數據(哇!)：