二級倒立擺的模糊控制研究
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在控制理論發(fā)展的過(guò)程中，某一理論的正確性及實(shí)際應用中的可行性都需要一個(gè)按其理論設計的控制器控制一個(gè)典型對象進(jìn)行驗證。倒立擺就是這樣一個(gè)被控制對象。倒立擺系統是一個(gè)多變量、快速、非線(xiàn)性和自然不穩定系統，在控制過(guò)程中該系統能有效反映控制中的許多關(guān)鍵問(wèn)題，如非線(xiàn)性問(wèn)題、系統的魯棒性問(wèn)題、隨動(dòng)問(wèn)題、鎮定問(wèn)題及跟蹤問(wèn)題等。倒立擺在控制理論研究中是一種較為理想的實(shí)驗裝置。小車(chē)倒立擺系統的控制目標是倒立擺通過(guò)小車(chē)能夠穩定在有限長(cháng)度的導軌上而不倒下，從而達到動(dòng)態(tài)平衡。本文針對二級倒立擺非線(xiàn)性模型，基于Maminadi模型，通過(guò)設計融合函數來(lái)設計模糊控制器，有效解決規則爆炸問(wèn)題，實(shí)現二級倒立擺的有效控制。
2 二級倒立擺的數學(xué)模型的建立
二級倒立擺由小車(chē)、擺桿、水平導軌等組成，小車(chē)由伺服電機、皮帶輪、傳動(dòng)帶帶動(dòng)在水平導軌上左右運動(dòng)，上下擺可繞各自的轉軸在水平導軌所在的鉛垂面內自由轉動(dòng)。小車(chē)和上下擺桿間通過(guò)軸承連接，每個(gè)軸承連接處固定有電位器，分別用以檢測兩根擺桿與鉛垂線(xiàn)的角度偏移。小車(chē)相對軌道中心點(diǎn)的偏移位置也由固定在皮帶輪軸上的電位器檢測。
其基本原理為：角度、位置信號經(jīng)檢測電路獲取后，再由微分電路得到相應的微分信號，這些信號經(jīng)A／D轉換器轉換為數字信號傳輸至計算機。通過(guò)已設計的控制程序計算控制力所需電壓值，經(jīng)D／A轉換器轉換為模擬信號，功率放大后驅動(dòng)電機運轉，電機再用皮帶拖動(dòng)小車(chē)在導軌上往復運動(dòng)實(shí)現對倒立擺的有效控制。忽略空氣阻力和各種摩擦，并認為擺桿為剛體。圖1為二級倒立擺示意圖。
倒立擺參數定義如下：M為小車(chē)質(zhì)量，0．584 kg；m1為擺桿1質(zhì)量，0．05 kg；m2為擺桿2質(zhì)量，0．13 kg；m3為擺桿3質(zhì)量，0．236 kg；l1為擺桿1中心到轉動(dòng)中心的距離，0．077 5 m；l2為擺桿2中心到轉動(dòng)中心的距離，0．25 m；θ1為擺桿1與豎直方向的夾角；θ2為擺桿2與豎直方向的夾角；F為作用在系統上的外力；g為重力加速度，9．8 m／s2。
利用拉格朗日方程推導運動(dòng)學(xué)方程，拉格朗日方程為：
式中，L為拉格朗日算子，q為系統的廣義坐標，T為系統的動(dòng)能，V為系統的勢能。
式中，i=1，2，3…，n，fi為系統在第i個(gè)廣義坐標上的外力。
在二級倒立擺系統中，系統的廣義坐標有3個(gè)，分別為x，θ1，θ2。經(jīng)計算并線(xiàn)性化并帶人參數值得到系統的狀態(tài)空間方程：
3 二級倒立擺模糊控制系統的設計與仿真
二級倒立擺系統控制目標較多，包括小車(chē)位移，下擺擺角，上擺擺角。傳統的模糊控制器采用系統誤差，誤差的導數作為輸入，若用傳統模糊控制控制二級倒立擺，則模糊控制器有6個(gè)輸入：小車(chē)位移、小車(chē)速度、下擺擺角、下擺角速度、上擺擺角和上擺角速度。
若對每個(gè)輸入變量定義5個(gè)模糊子集，控制規則最多有56個(gè)，模糊控制規則設計復雜，可調參數非常多，不利于模糊規則的完整制定，這就是在使用模糊控制研究多變量非線(xiàn)性系統時(shí)的所謂“規則爆炸(Rule Explosion)”問(wèn)題。然而，如果用3組二維模糊控制器(2輸入1輸出)通過(guò)串行或并行設計控制器，由于控制器個(gè)數增加，大大降低控制實(shí)時(shí)性，甚至由于不能及時(shí)輸出當前控制作用力而失控。
3．1 倒立擺控制合成變量
本文是將最優(yōu)控制理論與模糊控制相結合而采用的一種融合技術(shù)。它是把小車(chē)的位移、上擺擺角、下擺擺角綜合成一個(gè)變量E，將小車(chē)的速度、上擺的角速度、下擺的角速度綜合成一個(gè)變量EC，E和EC作為模糊控制器的輸入，電壓u作為輸出，減少模糊控制器的輸入，解決規則爆炸的問(wèn)題，由此設計Mamdani型模糊控制器。
通過(guò)LQR仿真，得出輸入輸出數據對，根據得到的數據計算并制定模糊規則。
對于嵌套函數Y=f2[f1(x)]，先使f1(x)對輸入變量作初步處理，再利用算法f2(x)根據前級算法的輸出進(jìn)行控制。f1稱(chēng)為融合函數，f2稱(chēng)為作用函數。
首先利用最優(yōu)控制理論中的LQR求得系統的狀態(tài)反饋系數K和狀態(tài)向量x：
為實(shí)現變量融合，分別選取兩個(gè)反饋系數為控制主元，其他輸入變量可根據與主元的相關(guān)性和可融合性分別歸并到兩主元中。對于二級倒立擺，由于擺桿2的控制難度最大，分別選擇θ2、θ2為控制主元，相應系數為：kθ=kθ2，kθ=kθ2融合函數的輸出向量為：
融合函數的輸出方程為：
通過(guò)把輸入狀態(tài)變量降維，得到角度誤差E和角速度誤差EC：
通過(guò)信息融合，將系統的6個(gè)狀態(tài)變量化為2個(gè)狀態(tài)變量，減少系統的輸入，實(shí)現模糊控制器的降維。由降維后得到的2個(gè)變量E和EC做為模糊控制器的輸入，設計一個(gè)二維Mamdani型的模糊控制器。利用最優(yōu)控制求得K。最優(yōu)控制性能指標函數為：
使式(7)為最小，可求得：
求解如下Ricatti方程可得到矩陣P：
性能指標函數中，定義矩陣Q和矩陣R用來(lái)平衡系統對輸入量和狀態(tài)量的敏感程度。它們對閉環(huán)系統的動(dòng)態(tài)性能影響很大。
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