蝶形、同址和變址計算方法及公式

1. 蝶形計算
任何一個(gè)N為2的整數冪(即N=2M)的DFT，都可以通過(guò)M次分解，最后成為2點(diǎn)的 DFT來(lái)計算。M次分解構成了從x(n)到X(k)的M級迭代計算，每級由N/2個(gè)蝶形組成。圖3.20表示了蝶形的一般形式表示。
其輸入和輸出之間滿(mǎn)足下列關(guān)系：

大多數情況下復數乘法所花的時(shí)間最多，因此下面僅以復數乘法的計算次數為例來(lái)與直接計算進(jìn)行比較。
直接計算DFT需要的乘法次數為αD=N2，于是有例如，當N=1024時(shí)，則： 205，即直接計算DFT所需復數乘法次數約為FFT的205倍。顯然，N越大，FFT的速度優(yōu)勢越大。

同址(原位)計算
圖3. 19包含log2N級迭代運算，每級由N/2個(gè)蝶形計算構成。蝶形計算的優(yōu)點(diǎn)是可以進(jìn)行所謂同址或原位計算。
現在來(lái)考察第一級的計算規律。設將輸入x(0)，x(4)，x(2)，x(6)， x(1)，x(5)，x(3)，x(7)分別存入計算機的存儲單元M(1), M(2), M(3),…，M(7)和M(8)中。首先，存儲單元M(1)和M(2)中的數據x(0)和x(4)進(jìn)入運算器并進(jìn)行蝶形運算，流圖中各蝶形的輸入量或輸出量是互不相重的，任何一個(gè)蝶形的二個(gè)輸入量經(jīng)蝶形運算后，便失去了利用價(jià)值，不再需要保存。這樣，蝶形運算后的結果便可以送到M(1)和M(2)存儲起來(lái)。類(lèi)似地，M(3)和M(4)中的x(2)和x(6)進(jìn)入運算器進(jìn)行蝶形運算后的結果也被送回 到M(3)和M(4)保存，等等。第二級運算與第一級類(lèi)似，不過(guò)，M(1)和M(3)存儲單元中的數 據進(jìn)行蝶形運算后的結果被送回M(1)和M(3)保存，M(2)和M(4)中的數據進(jìn)行蝶形運算 后送回M(2)和M(4)保存，等等。這樣一直到最后一級的最后一個(gè)蝶形運算完成。

蝶形運算的特點(diǎn)是，首先每一個(gè)蝶形運算都需要兩個(gè)輸入數據，計算結果也是兩個(gè)數據，與其它結點(diǎn)的數據無(wú)關(guān)，其它蝶形運算也與這兩結點(diǎn)的數據無(wú)關(guān)、因此，一個(gè)蝶形 運算一旦計算完畢，原輸入數據便失效了。這就意味著(zhù)輸出數據可以立即使用原輸 人數據結點(diǎn)所占用的內存。原來(lái)的數據也就消失了。輸出、輸人數據利用同一內存單 元的這種蝶形計算稱(chēng)為同位(址)計算。
可以看出， 每一級的蝶形的輸入與輸出在運算前后可以存儲在同一地址(原來(lái)位置上)的存儲單元中，這種同址運算的優(yōu)點(diǎn)是可以節省存儲單元，從而降低對計算機存儲量的要求或降低硬件實(shí)現的成本。

3．變址計算
從圖3. 19所示的流程圖看出，同址計算要求輸入x(n)是“混序”排列的。所謂輸入為“混 序”，并不是說(shuō)輸入是雜亂無(wú)章的，實(shí)際上它是有規律的。如果輸入x(n)的序號用二進(jìn)制碼來(lái) 表示，就可以發(fā)現輸入的順序恰好是正序輸入的“碼位倒置”，表3. 3列出了這種規律。

在實(shí)際運算中，按碼位倒置順序輸入數據x(n)，特別當N較大時(shí)，是很不方便的。因此，數據總是按自然順序輸入存儲，然后通過(guò)“變址”運算將自然順序轉換成碼位倒置順序存儲。實(shí)現這種轉換的程序可用圖3. 21來(lái)說(shuō)明。

圖中用n表示自然順序的標號，用l表示碼位倒置的標號。當l=n時(shí)，x(n)和x(l)不必互相調換。當l≠n時(shí)， 必須將x(l)和x(n)互相調換，但只能調換一次，為此必須規定每當l>n時(shí)，要將x(l)和x(n)相互調換，即把原來(lái)存放x(n)的存儲單元中的數據調入存儲x(l)的存儲單元中，而把原來(lái)存儲x(l)的存儲單元中的數據調入到存儲x(n)的存儲單元中。
這樣，按自然序輸入的數據x(n)經(jīng)過(guò)變址計算后變成了碼位倒置的排列順序，便可進(jìn)入第一級的蝶形運算。
最后介紹一下時(shí)間抽選FFT算法的另外一些形式的流程圖。對于任何流程圖，只要保持 各節點(diǎn)所連支路及其傳輸系數不變，則不論節點(diǎn)位置怎樣排列，所得到的流程圖總是等效的，因而都能得到DFT的正確結果，只是數據的提取和存儲次序不同而已。
把圖3. 19中與x(4)水平相鄰的所有節點(diǎn)和與x(1)水平相鄰的所有節點(diǎn)交換，把與x(6)水平相鄰的所有節點(diǎn)和與 x(3)水平相鄰的所有節點(diǎn)交換，而與x(2)、x(5)和x(7)水平相鄰各節點(diǎn)位置不變，就可以從圖3. 19得到圖3.22。圖3.22與圖3.19的區別只是節點(diǎn)的排列不同，而支路傳輸比，即WN的 各次冪保持不變。顯然圖3.22所示流程圖的輸入是正序(自然順序)排列的，輸出是碼位倒置 排列的，所以輸出要進(jìn)行變址計算。圖3. 22所示的流程圖相當于最初由庫利和圖基給出的時(shí) 間抽選算法。

另一種形式的流程圖是將節點(diǎn)排列成輸入 和輸出兩者都是正序排列，但這類(lèi)流程圖不能進(jìn)行同址計算，因而需要兩列 長(cháng)度為N的復數存儲器。