15年磨一劍：張益唐證明黎曼猜想相關(guān)問(wèn)題？11月論文見(jiàn)

這兩天，張益唐「攻克」朗道-西格爾零點(diǎn)猜想（Landau-Siegel Zeros Conjecture）的傳聞鋪天蓋地。

據稱(chēng)，張益唐在參加10月15日北京大學(xué)校友Zoom線(xiàn)上會(huì )議時(shí)，在口頭上承認了這一點(diǎn)。

曾經(jīng)解決了「孿生質(zhì)數猜想」從0到1的一步時(shí)，張益唐就已經(jīng)轟動(dòng)全世界數學(xué)圈。而如果他真的解決了朗道-西格爾零點(diǎn)猜想，無(wú)疑會(huì )引發(fā)一場(chǎng)大地震。

不過(guò)，相關(guān)論文似乎得等到下個(gè)月才能看到。

讓我們搓手以待。

這篇論文，張益唐修改了9年

上一次張益唐在互聯(lián)網(wǎng)上引起這么大的關(guān)注，還是在2013年。

當時(shí)，他完成了論文《素數間的有界距離》，證明了「弱化版本的孿生素數猜想」。

論文于2013年發(fā)表在《數學(xué)年刊》上。

《素數間的有界距離》手稿

作為數學(xué)界耳熟能詳的華人「大?！?，一般人可能會(huì )以為張益唐成果頗豐。

但實(shí)際上，他在40多年的學(xué)術(shù)生涯里，只發(fā)表過(guò)屈指可數的幾篇論文。

其中比較出名的幾篇，除了2013年發(fā)表的「弱化版孿生素數猜想」之外，另外兩篇分別發(fā)表在2001年的《杜克數學(xué)期刊》和1985年的《數學(xué)學(xué)報》上，都是關(guān)于朗道-西格爾零點(diǎn)猜想的。

在接受《人物》周刊采訪(fǎng)時(shí)，張益唐曾解釋道：長(cháng)久不發(fā)論文的原因，是因為自己很難接受「Partial result」——他手上已經(jīng)攢了一些隨時(shí)可以出成果的研究，但他不甘心拿出來(lái)，因為「完全做完之后拿出來(lái)的東西就是大東西了?！?/span>

這與如今主流數學(xué)家的做法都不同。

在成名前，張益唐就已經(jīng)研究了朗道-西格爾零點(diǎn)猜想很多年。

2007年5月，他還在University of New Hampshire時(shí)，就曾為此寫(xiě)過(guò)一篇論文草稿。

論文地址：https://arxiv.org/abs/0705.4306

當時(shí)，這篇論文還不完整，只是關(guān)于朗道-西格爾猜想的一個(gè)大概的證明綱要，張益唐把它在預印本服務(wù)器上保存了下來(lái)，然后就把它「撂下」，跑去做快要成了的「孿生素數」問(wèn)題了。

天才的預判果然很有道理，接下來(lái)發(fā)生的事，你們已經(jīng)知道了。

關(guān)于「孿生素數猜想」的論文讓他大爆，一躍成為學(xué)界「頂流」。

Nature在「突破性新聞」欄目里對此成果做了專(zhuān)題報道。同時(shí)，羅夫·肖克獎 、柯?tīng)枖嫡摢?、麥克阿瑟天才獎等重量級獎項，張益唐都拿到手軟?/span>

關(guān)于他的神奇事跡也被各媒體爭相報道。

現在，時(shí)隔9年，因為他的一句話(huà)，數學(xué)圈忽然又沸騰了。

推測一下，應該是被他「撂下」多年的那篇朗道-西格爾零點(diǎn)猜想論文大綱已經(jīng)補充完畢，完整論文出爐了。

這次，張益唐是準備二「爆」了？

朗道-西格爾零點(diǎn)猜想

所以，朗道-西格爾零點(diǎn)猜想是什么呢？

在數論中，朗道-西格爾零點(diǎn)問(wèn)題可以看作廣義黎曼猜想的一種特殊并且可能弱得多的形式。

2019年，香港中文大學(xué)舉辦的「大師講堂」上，張益唐介紹了朗道-西格爾零點(diǎn)問(wèn)題的歷史和應用，并解釋為何這個(gè)問(wèn)題這么重要，并且難以解決。

根據香港中文大學(xué)（深圳）整理的資料，張益唐本人是這樣介紹的——

張益唐研究的意義有多重大？

為何關(guān)于張益唐的爆料一出，就驚動(dòng)了整個(gè)數學(xué)圈？

因為黎曼猜想是當今數學(xué)界最重要的數學(xué)難題之一，意義重大。

要想理解它的意義，我們不妨先了解一下數論的大背景。

數論是純粹數學(xué)的分支，研究的是數的性質(zhì)，可以說(shuō)是最純粹的數學(xué)。畢達哥拉斯、歐幾里得、斐波那契、笛卡爾、費爾馬、萊布尼茲、拉格朗日、歐拉、高斯、希爾伯特等著(zhù)名的數學(xué)家都曾在數論的研究史上留下濃墨重彩的一筆。

高斯：數學(xué)是科學(xué)的皇后，數論是數學(xué)的皇后

數論的研究產(chǎn)生了很多的猜想，這些猜想將極大地推動(dòng)數學(xué)的研究進(jìn)展。

1900年，德國數學(xué)家戴維·希爾伯特曾在第二屆數學(xué)家大會(huì )上提出了「20世紀數學(xué)家應當努力解決的23個(gè)數學(xué)問(wèn)題」。

而2000年克雷數學(xué)研究所「千禧年大獎難題」提出了7個(gè)重要的猜想，這項猜想如果能被解決，密碼學(xué)、航天和通訊等領(lǐng)域都會(huì )發(fā)生驚人的突破。

在眾多的猜想中，黎曼猜想是唯一同時(shí)出現在希爾伯特23個(gè)問(wèn)題和千禧年大獎難題中的猜想。

雖然在知名度上，黎曼猜想不及費爾馬猜想和哥德巴赫猜想，但它在數學(xué)上的重要性，要遠遠超過(guò)后兩者。黎曼猜想與費馬大定理已經(jīng)成為廣義相對論和量子力學(xué)融合的m理論的幾何拓撲載體。

目前，很多數論的猜想都已經(jīng)被證實(shí)。1995年，費爾馬大定理被證明；2002年，卡塔蘭猜想被證明；2013年，孿生數猜想被證明；2013年，奇數哥德巴赫問(wèn)題被證明。

但黎曼猜想一直都懸而未決?？梢韵胂?，如果有人證明了黎曼猜想，將是一個(gè)多么轟動(dòng)的事件。

同理，如果黎曼猜想被證偽，也是數學(xué)界驚天動(dòng)地的大事。

而張益唐如果真的證偽了黎曼猜想，或者證明了朗道-西格爾零點(diǎn)的存在，都無(wú)疑是核爆級的消息。

黎曼猜想

讓我們看一下黎曼猜想的起源。

1859年，德國數學(xué)家黎曼在論文「論小于給定數值的素數個(gè)數」中，首次提及這個(gè)猜想。

對此，「科學(xué)大抖宅」正巧在一篇文章中對此做了非常白話(huà)的解釋。

我們都知道，2、3、5、7、11這些數，除了1跟自己本身以外，不能被其他正整數整除，因此它們被稱(chēng)作質(zhì)數。而所有大于1的正整數，都能夠以質(zhì)數的乘積來(lái)表示。 

但如果要問(wèn)：「比某個(gè)特定數值要小的質(zhì)數有多少個(gè)呢？質(zhì)數在整個(gè)數列中的分布情況又是如何？」

這個(gè)問(wèn)題就復雜了。

而黎曼發(fā)現，質(zhì)數的分布跟某個(gè)函數有著(zhù)密切關(guān)系：

這個(gè)公式中，s是復數，可以寫(xiě)成s=a+bi這樣的形式（a是s的實(shí)部、b是s的虛部、i則是根號負一）。

數學(xué)家們可以輕易證明，只要s的實(shí)部大于1，那么整個(gè)無(wú)窮級數里，把每一項的絕對值相加后，會(huì )得到收斂并趨近于某個(gè)定值的結果。

不過(guò)，對于s的實(shí)部小于1的狀況，事情就沒(méi)那么簡(jiǎn)單了：整個(gè)級數和可能會(huì )發(fā)散。

但我們又想要擴充函數的定義，讓它適用更廣泛的范圍，那該怎么辦呢？

只需運用一些「簡(jiǎn)單的」數學(xué)技巧，就可以把上面的黎曼ζ函數改寫(xiě)為：

其中的 Г ，稱(chēng)為伽瑪函數（gamma function）。

由此可以發(fā)現，當s為負偶數（s= -2, -4, -6…）時(shí)，黎曼ζ函數為零。這些s的值，就稱(chēng)為平凡零點(diǎn)。

但是，除了平凡零點(diǎn)之外，還有其他一些s的值，能夠讓黎曼ζ函數為零──稱(chēng)為非平凡零點(diǎn)；它們不但對質(zhì)數的分布有著(zhù)決定性影響，實(shí)數部分還全都位于零和一之間。

到了這一步，已經(jīng)到達了黎曼本人也無(wú)法證明的難度了。

不過(guò)他做了一個(gè)猜測，這些非平凡零點(diǎn)有著(zhù)共同的特性：黎曼ζ函數所有非平凡零點(diǎn)的實(shí)部都是二分之一。

這就是赫赫有名的黎曼猜想。

孿生素數猜想

最后，讓我們看看曾讓張益唐名聲大震的「孿生質(zhì)數猜想」相關(guān)論文。

1992年博士畢業(yè)于普渡大學(xué)，張益唐度過(guò)一段坎坷的時(shí)光，終于在2013年，他對于「存在無(wú)窮多個(gè)差值小于7000萬(wàn)的質(zhì)數對」的證明在五周內被《數學(xué)年刊》接收。

論文地址：https://annals.math.princeton.edu/2014/179-3/p07

在這篇論文中，他找到了孿生素數對差值的上界——7000萬(wàn)，這是「孿生質(zhì)數猜想」的重大進(jìn)展，實(shí)現了從0到1的跨越。

后來(lái)，陶哲軒等數學(xué)家迅速將這個(gè)差距縮小到了246，但這相當于從1到2的跨越。相較而言，張益唐從0到1的這一步，意義更加重大。

關(guān)于兩位數學(xué)家的研究成果，已經(jīng)被拍成紀錄片。

根據《光明日報》記者王慶環(huán)的整理，在2016年度的「求是獎頒獎典禮」上，著(zhù)名科學(xué)家楊振寧曾用小學(xué)生聽(tīng)得懂的語(yǔ)言講解了張益唐所做的研究——

對于以上解釋?zhuān)瑥堃嫣票救吮硎荆骸笚钫駥幗淌诘慕榻B既通俗又清楚，如果讓我自己講的話(huà)，我肯定講不了那么好?！?/span>

目前，坊間已經(jīng)在熱議，如果傳說(shuō)為真，張益唐的成就是否能超越丘成桐、陳景潤。

讓我們靜等11月，看看張益唐是否會(huì )交出令自己滿(mǎn)意的「大東西」。

來(lái)源：新智元