如何利用電路的“時(shí)間常數”預判響應？

“時(shí)間常數”哪學(xué)來(lái)的？

     “電路”/“信號與系統”/“自動(dòng)控制原理”，多次揭示一階系統的運行規律，其中τ(tao)就是時(shí)間常數time constant。電路中，RC串聯(lián)的零狀態(tài)響應是典型的一階電路，τ=RC。

    若u(t)為單位階躍輸入，輸出y(t)經(jīng)過(guò)3-5個(gè)τ的滯后才可近似認為進(jìn)入了穩態(tài)，達到靜態(tài)增益k。

    簡(jiǎn)言之，“時(shí)間常數”只針對一階系統，廣義上的時(shí)間常數或可針對主導極點(diǎn)為一階形式的，類(lèi)一階的高階系統。直觀(guān)地說(shuō)，它代表了系統對抗外界變化，保持原狀的抵抗能力（慣性）。

    那么，從穩態(tài)來(lái)看，只要我身為舔狗等女神足夠久，一階環(huán)節的時(shí)間常數并不會(huì )對直流輸入產(chǎn)生影響。

直流書(shū)上都有，交流呢？

    實(shí)際工程的采樣環(huán)節中，除了直流信號，我們常遇到交流信號（或含交流信號）的調理與高頻噪聲濾除，最簡(jiǎn)單且典型的，即采用一階濾波電路實(shí)現。

    濾掉高頻噪聲很簡(jiǎn)單，但我們也應該關(guān)心，經(jīng)過(guò)時(shí)間常數τ的一階濾波，正弦輸入基波的穩態(tài)響應，有沒(méi)有可能被濾過(guò)頭？

    從用戶(hù)友好+小白實(shí)用的角度出發(fā)，必然是直接從時(shí)域得到結論。

•   已知輸入波形周期100us，一階濾波器的時(shí)間常數取多少u(mài)s才可以不失真（幅度，相位）？

•   系統穩定后，輸入輸出兩個(gè)正弦的基波，在時(shí)域上有多少延遲？

  
  

    不必每次都理論計算/仿真，而能秒答這兩個(gè)問(wèn)題，加速調試和設計過(guò)程，是本文撰寫(xiě)的初衷。

    為了盡可能量化，聯(lián)系理論工具：正弦穩態(tài)響應→波特圖。

    一階系統波特圖和漸近線(xiàn)如下，轉折頻率為藍色線(xiàn)fc，輸入的ac信號基波頻率為綠色線(xiàn)fac。

    由圖可知，為了幾乎不產(chǎn)生衰減和相移的失真，放在轉折頻率1/10以下，fac<fc/10。

    我們就把fac放在fc/10的地方，為了找出時(shí)間常數和交流信號，在時(shí)域的直接關(guān)系，列表如下：

     結論：頻域幅度和相位的不失真，即時(shí)域上幅度縮小和時(shí)間延遲近似忽略的情況下，在時(shí)域上需求的倍數關(guān)系高達62.8，也就是說(shuō)，針對100us周期的輸入信號，濾波器時(shí)間常數不要超過(guò)1.6us。

    那么，為了研究時(shí)域延遲，如果讓輸入信號頻率fac在fc之下自由移動(dòng)，（上圖中橙色區域），即周期低于20pi*τ，相移會(huì )有負的0°-45°之多，對應的時(shí)域呢？

    一階系統相位表達式如下，橙色區域恰對應自變量2pi*f*τ的范圍在[0，1]。

    百度一下，白嫖個(gè)函數圖像：

    為了避免用大一高等數學(xué)的泰勒展開(kāi)和各階近似把人繞暈，直接由圖可知：

x→0（無(wú)窮?。?，有y=-x成立；x=1時(shí)，y=-x*pi/4。

    如果你愿意，可以把這段區域用y=-x和y=-x*pi/4包起來(lái)。

    因此，知道了相角，由高中數學(xué)三角函數知識，顯然可以得到對應的時(shí)間：

    結論：近似的，通過(guò)時(shí)間常數為τ的一階系統，若輸入的交流信號頻率處于相對中低頻（低于轉折頻率fc），輸出產(chǎn)生的延遲約在0.785τ~τ之間。

總結下

    這就是大家的直覺(jué)印象，交流信號通過(guò)時(shí)間常數τ的濾波器，會(huì )產(chǎn)生大約τ的時(shí)域延遲的由來(lái)。

    但要注意，該結論的近似條件，只到轉折頻率fc，也就是低頻才可等效。

    某種程度上，這也直接從時(shí)域等效的角度，解釋了耳熟能詳的：在相對低頻段，τ的純延遲環(huán)節可以和時(shí)間常數τ的一階慣性環(huán)節，相互近似等效。

    如果從頻域的角度，畫(huà)出延遲環(huán)節（含e的超越函數）的波特圖曲線(xiàn)，可以發(fā)現在低頻段，其相角和一階系統差異很小。

    究其數學(xué)根本，就是高數的泰勒展開(kāi)近似。感興趣的同學(xué)可以自行查閱陳伯時(shí)老師的“電力拖動(dòng)自動(dòng)控制系統”課本，附錄中針對該近似的推導。