基于遺傳算法的復雜無(wú)源濾波器參數設計

　　無(wú)源濾波器在電子技術(shù)領(lǐng)域有著(zhù)廣泛的應用。針對某一應用的復雜無(wú)源濾波器,往往結構容易確定,參數調整卻十分困難。其原因是：結構中的組成元件電阻、電容、電感個(gè)數較多,頻率特性與元件參數的關(guān)系是一個(gè)高階的非線(xiàn)性函數,相互間對頻率特性的影響存在著(zhù)高度的耦合,因而欲達到頻率特性?xún)?yōu)良的設計目的,無(wú)論采用實(shí)驗手段還是常規數學(xué)手段,都需花費大量的時(shí)間與精力。

　　近年來(lái),模擬生物進(jìn)化過(guò)程的遺傳算法作為求解優(yōu)化問(wèn)題的有效手法而倍受關(guān)注。正如Ｔｈｏｍａｓ Ｂａｃｋ等人指出１,同其他手法相比,其優(yōu)點(diǎn)在于：處理問(wèn)題的靈活性、適應性、魯棒性,能取得全局解,對模型要求低,針對不同問(wèn)題設計的不同遺傳算法,不僅能提高現有解的優(yōu)化品質(zhì),還能攻克某些難度大的優(yōu)化問(wèn)題。

　　本文以遺傳算法的應用為出發(fā)點(diǎn),提出了一種新的無(wú)源濾波器參數設計方法。它能有效克服上述無(wú)源濾波器參數設計的困難,十分方便地取得滿(mǎn)足性能指標要求的參數設計值。

　　１ 優(yōu)化模型的建立

　　典型的無(wú)源濾波器電路組成元件一般按Ｔ型結構連接,如圖１所示。濾波器的頻率特性可以用功率傳輸函數來(lái)定義,即：

　　其中,Ｘ＝[Ｘ１,Ｘ２,．．．,Ｘｎ],為電路的元件參數值矩陣,ｎ為元件總個(gè)數,Ｗ為頻率。若Ｘ已知,頻率采樣點(diǎn)Ｗｉ對應的頻率特性Ｌｉ可按下述方法計算：

　　設 Ｉ１＝ＩＬ＝０．１,

　?。郑保剑桑蹋遥蹋埃剑郑?/P>

　?。桑玻剑郑保伲保桑?/P>

　?。郑常剑桑玻冢玻郑?/P>

　?。郑玻睿保剑桑玻睿冢玻睿郑玻睿?/P>

　?。桑玻睿玻剑郑玻睿保伲玻睿保桑玻?/P>

　?。牛螅剑遥螅桑玻睿玻郑玻睿?/P>

　　用簡(jiǎn)易的迭代程序求得Ｅｓ,代入式(１)即可求得Ｌｉ。

　　濾波器的結構已知后,先確定結構中的參數取值范圍,選擇的條件可以比較寬松,然后按預期的性能指標要求,選定適當個(gè)頻率采樣點(diǎn)Ｗ１,Ｗ２,．．．,規定其對應功率傳輸函數幅度界限值,迫使它調整后經(jīng)過(guò)采樣點(diǎn)時(shí),滿(mǎn)足幅度界限要求（大于、小于或介于）。由此獲得的新設計參數Ｘ*即是滿(mǎn)足預期性能指標的設計值。為求得Ｘ*,建立如下優(yōu)化模型：

　　其中,Ｘ的定義同前,Ｔ＝[Ｔ１,Ｔ２,．．．]為幅度界限值矩陣,Ｓ＝[Ｓ１,Ｓ２,．．．]為加權系數矩陣,Ｕ＝[Ｕ１,Ｕ２,．．．]為裕度矩陣,ＸＬ、ＸＵ分別為設計參數的上下界限矩陣。ｐ為偶次方,ｍ為采樣點(diǎn)總數,Ｒｉ稱(chēng)為余差,具體表達式為：

　　下界 Ｒｉ＝Ｓｉ×Ｍｉｎ（＋[Ｌｉ－Ｔｉ]－Ｕｉ,０）

　　上界 Ｒｉ＝Ｓｉ×Ｍｉｎ（－[Ｌｉ－Ｔｉ]－Ｕｉ,０）

　　顯然,當存在解Ｘ使Ｆ函數最小時(shí),Ｌｉ的值應能控制在Ｔｉ的要求范圍內,從而使頻率特性滿(mǎn)足指標要求,因此該解即可視為Ｘ*。

　　２ 優(yōu)化模型的求解

　　遺傳算法是一個(gè)強有力的求優(yōu)算法,它首先隨機地產(chǎn)生一組潛在的解Ｘ（該解稱(chēng)為“染色體”,解的特定集合稱(chēng)為“人口”,解中的變量稱(chēng)為“基因”）,然后采用生物進(jìn)化的過(guò)程（如染色體交叉變異淘汰等）不斷提高解的品質(zhì),最后獲得最優(yōu)解。遺傳算法有兩個(gè)重要控制參數——交叉率Ｐｃ和變異率Ｐｍ對算法的收斂速度有較大影響,文獻[３]采用確定不變的Ｐｃ和Ｐｍ而本文采用隨世代數增加而不斷自動(dòng)調整的Ｐｃ和Ｐｍ。這樣做的目的在于：在進(jìn)化的初期,人口的差異一般較大,交叉率大和變異率小有助于加快收斂,而在進(jìn)化的后期,交叉率小和變異率大有助防止過(guò)早陷入局部最優(yōu)點(diǎn)。公式如下：

　?。校?ｇｅｎ)＝Ｐｃ(ｇｅｎ－１)－[Ｐｃ（０）－０．３]／ＭＡＸＧＥＮ

　?。校恚ǎ纾澹睿剑校恚ǎ纾澹睿保玔０．３－Ｐｍ（０）／ＭＡＸＧＥＮ

　　其中,ｇｅｎ表示世代數,ＭＡＸＧＥＮ表示最大世代數,具體算法如下：

　　第１步,全局參數設定

　　給出ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ（人口數）、Ｐｃ（０）、Ｐｍ（０）、ＭＡＸＧＥＮ和設計次數ｄｃｎｔ的大小或范圍。

　　第２步,人口的產(chǎn)生及初使化

　　設世代數ｇｅｎ＝１。以設計參數為變量,組成矩陣Ｘ＝[Ｘ１,Ｘ２,．．．,Ｘｎ]。第一代人口由ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ個(gè)染色體構成,每個(gè)染色體的基因（即設計參數）在參數各自取值范圍內隨機產(chǎn)生。

　　第３步,染色體評價(jià)

　　為了評價(jià)代世代中染色體Ｘ的優(yōu)劣,建立染色體適應性評價(jià)函數ｅｖａｌ（Ｘ）：

　?。澹觯幔欤ǎ兀剑鸉（X,T,S,U）;當X滿(mǎn)足約束條件 M,M為一大正數;當X不滿(mǎn)足約束條件

　　對本問(wèn)題,評價(jià)函數越小越好。

　　第４步,基因操作

　　通?；虿僮饔薪徊?、變異、選擇三種(２)。

　　基因交叉：設交叉計數器ｃｃｎｔ＝０,從[０,１]范圍內產(chǎn)生隨機數ｒｋ（ｋ＝１,２,．．．,ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ）,如果ｒｋ＜Ｐｃ（ｇｅｎ）,則選擇Ｘｋ為交叉用;使交叉染色體配對進(jìn)行如下位交叉操作：

　?。兀辏絒Ｘ１ｊ,Ｘ２ｊ,．．．,Ｘｐｊ,．．．,Ｘｎｊ] Ｘｊ′＝[Ｘ１ｊ,Ｘ２ｊ,．．．,Ｘｐｌ,．．．,Ｘｎｌ

　?。兀欤絒Ｘ１ｌ,Ｘ２ｌ,．．．,Ｘｐｌ,．．．,Ｘｎｌ] Ｘｌ′＝[Ｘ１ｌ,Ｘ２ｌ,．．．,Ｘｐｊ,．．．,Ｘｎｊ]

　　其中Ｘｊ、Ｘｌ為配對染色體,Ｘｊ′、Ｘｌ′為交叉后染色體。ｐ為隨機選擇的交插位,接受交叉操作的染色體個(gè)數記入ｃｃｎｔ中。

　　基因變異：設變異計數器ｍｃｎｔ＝０,從[０,１]范圍內產(chǎn)生隨機數ｒｋ(ｋ＝１,２,．．．,ｎ×ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ＋ｎ×ｃｃｎｔ),如果ｒｋ＜Ｐｍ(ｇｅｎ),則第ｋ個(gè)基因進(jìn)行變異操作,并使ｍｃｎｔ＝ｍｃｎｔ＋１。新基因Ｘｋ′隨機產(chǎn)生于區間[(１－α)Ｘｋ,(１＋α)Ｘｋ];其中１≤ｉ≤ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ,α為[０,１]范圍內選定常數。

　　染色體選擇：計算新生染色體Ｘｎ′的評價(jià)函數ｅｖａｌ(Ｘｎ′)(ｎ＝１,２,．．．,ｃｃｎｔ＋ｍｃｎｔ　和父代染色體Ｘｎ的評價(jià)函數ｅｖａｌＸｎ?。煟睿剑雹煟并煟煟校希校撸樱桑冢拧?并按適應性大小排列,選出其中適應性最強的ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ個(gè)染色體構成新一代人口并保留上述過(guò)程中最佳染色體Ｖ*,這個(gè)過(guò)程稱(chēng)為“適者生存”選擇。

　　第５步,單次過(guò)程結束判斷

　　當Ｆ＜Ｅｒ時(shí)(Ｅｒ為一小數量級數值　,Ｘ*＝Ｖ*,輸出Ｘ*,轉第６步。

　　當Ｆ≤Ｅｒ且ｇｅｎ≥ＭＡＸＧＥＮ時(shí),ｇｅｎ＝ｇｅｎ＋１,返回第３步。

　　當Ｆ≥Ｅｒ時(shí)且ｇｅｎ≥ＭＡＸＧＥＮ時(shí),返回第２步。

　　第６步,全過(guò)程結束判斷

　?。洌悖睿簦剑洌悖睿簦?當ｄｃｎｔ＞０時(shí),返回第２步;否則,停機。

　　３ 數值實(shí)驗例

　　圖２為一帶通無(wú)源濾波器電路結構,通頻帶要求在９５０～１０５０ ｒａｄ／ｓ之間。為此,每隔５ ｒａｄ／ｓ作一次采樣,采樣點(diǎn)的幅度大于０．８５;設定低頻截止頻率為８００ ｒａｄ／ｓ,幅度小于１ｅ－５;高頻截止頻率為１３００ｒａｄ／ｓ,幅度小于１ｅ－５。建立如下優(yōu)化模型：

　?。螅簦?ＸＬ＝[０,０,．．．,０]＜Ｘ＜ＸＵ＝[１８,１８,．．．,１８]

　　其中

　?。兀絒Ｘ１,Ｘ２,．．．,Ｘ１９]＝[Ｌ,Ｃ３,Ｃ４,Ｌ６,Ｌ７,Ｃ７,Ｌ９,Ｌ１０,Ｃ１２,Ｌ１３,Ｃ１３,Ｌ１５,Ｌ１６,Ｃ１８,Ｌ１９,Ｃ１９,Ｌ２１,Ｌ２２,Ｃ２４];

　?。遥保剑保啊粒停椋?＋[１．０ｅ－５－Ｌ１]－０．０,０）,對應Ｗ１＝８００ｒａｄ／ｓ

　?。遥辏剑保啊粒停椋?＋[Ｌｊ－０．８５]－０．０５,０);ｊ＝２,３,．．．,２２,對應Ｗｊ＝(５×ｊ＋９４０)ｒａｄ／ｓ

　?。遥玻常剑保啊粒停椋?＋[１．０ｅ－５－Ｌ２３]－０．０,０）,對應Ｗ２３＝１３００ｒａｄ／ｓ

　　在ＮＥＣ４８００／２１０Ⅱ工作站完成上述算法。算法的參數設置為Ｅｒ＝１ｅ－６,α＝０．１,Ｐｃ＝Ｐｃ(０)＝０．６,Ｐｍ(０)＝０．１,ＰＯＰ＿ＳＩＺＥ＝４０,ＭＡＸＧＥＮ＝２０００,程序語(yǔ)言為ＵＮＩＸ－Ｃ。ｄｃｎｔ?。保?得到１０組設計值,皆能使頻率特性滿(mǎn)足要求。平均世代數為１５０８代,平均時(shí)間為９．８ｍｉｎ。其中一組結果為:

　?。?＝[０．０７９２１２．６５１４０．０７５２１３．０１５７０．１０５８３．３１３１ ０．１７９３１３．３３８６０．０７２６０．１３３４３．３２６０．１７２２１５．１２１８０．０６３３０．０８７６１．９２８８０．３３３３１０．３１７１０．０９００]。

　　按此參數設計后,濾波器頻率特性較好地達到了預期要求,如圖３所示。

　　本文簡(jiǎn)要分析了無(wú)源濾波器參數設計存在困難的主要原因。對無(wú)源濾波器的常用電路結構,提出了計算頻率特性的簡(jiǎn)易迭代法,并將求解滿(mǎn)足指標要求的參數設計值的問(wèn)題轉化為優(yōu)化模型的求解過(guò)程,使的原來(lái)難以描述和解決的設計問(wèn)題變得明確和簡(jiǎn)單。

　　在遺傳算法方面,我們并不照搬前人的方法[３],例如,把最小目標函數的求解要求轉化為進(jìn)化的驅動(dòng)力而不是刻意求得最優(yōu)解,不僅減少了計算時(shí)間,還可提供設計者多種可選擇的方案。在遺傳算法的變異階段,采用的是以現有的基因為中心的左右變異方法,有別于常用的在變量范圍內變異的方法。因本法中心不斷靈活飄移,求解過(guò)程出現兩個(gè)極端,即快速找到合適解或走入死區——永遠找不到解。我們通過(guò)設定最大世代數消除了后者的可能性,總體上提高了效率。

　　本法有效地克服了無(wú)源濾波器參數設計的困難,具有普遍性的價(jià)值和意義。其基本思想及原理亦可在電氣、電子、自動(dòng)化等較復雜系統的參數設計領(lǐng)域得到廣泛的應用。