拉普拉斯反變換

利用拉普拉斯反變換的定義式（9-1-3），將象函數代入式中進(jìn)行積分，即可求出相應的原函數，但往往求積分的運算并不簡(jiǎn)單。下面介紹求反變換的一種校為簡(jiǎn)便的方法。

設有理分式函數：

若m≥n，則可通過(guò)多項式除法得：

式中，整式的拉普拉斯反變換為：

是有理真分式，記為。對于電路問(wèn)題，多數F(S)是有理真分式即n≥m情況。為求的拉普拉斯反變換，通常利用部分分式展開(kāi)的方法，將之展開(kāi)成簡(jiǎn)單分式之和。簡(jiǎn)單分式的反變換，可直接查表9-1-1直接獲得。

令，求出相應的幾個(gè)根，記作。根據所求根的不同類(lèi)型，下面分三種情況進(jìn)行討論。

一、當有幾個(gè)不相同的實(shí)數根時(shí)

按部分分式展開(kāi)為：

式中，，……是對應于極點(diǎn)的留數。留數可由下面兩式求出，即：

（式9-3-1）

或：

（式9-3-2）

于是的反變換式為：

（式9-3-3）

例9-3-1：求的拉普拉斯反變換式。

解：的部分分式展開(kāi)式為：

由（式9-3-1）：

同理可得：，

于是：

二、當包含有共軛復根時(shí)

設：

當是實(shí)系數多項式時(shí)，是復數，是的共軛復數。

例9-3-2 求的原函數。

解：

由（式9-3-1）：

的原函數為：