組合邏輯電路的分析與設計-邏輯代數

　　表中的基本定律是根據邏輯加、乘、非三種基本運算法則，推導出的邏輯運算的一些基本定律。
　　對于表中所列的定律的證明，最有效的方法就是檢驗等式左邊的函數與右邊函數的真值表是否吻合。

例如，要證明A＋A=A時(shí)，可按照下面的步驟進(jìn)行證明：
　　1. 令A＝1，則A＋A＝l＋l＝l＝A；
　　2. 令A＝0，則A＋A＝0＋0＝0＝A；
　　除此之外，別無(wú)其他可能，可見(jiàn)A＋A＝A。

　　恒等式可以用其他更基本的定律加以證明，我們來(lái)證明其中的第一條，即

　　證明如下：

　　在以上所有定律中，反演律具有特殊重要的意義。反演律又稱(chēng)為摩根定律，它經(jīng)常用于求一個(gè)函數的非函數或者對邏輯函數進(jìn)行變換
。

例1：證明反演律(摩根定律)成立
證明：
　　因為“輸入都是１時(shí),輸出才是１”同“輸入有０時(shí),輸出為０”在邏輯上是等效的,這種等效關(guān)系可寫(xiě)成

　　本節所列出的基本公式反映了邏輯關(guān)系，而不是數量之間的關(guān)系
，在運算中不能簡(jiǎn)單套用初等代數的運算規則。如初等代數中的移項規則就不能用，這是因為邏輯代數中沒(méi)有減法和除法的緣故。這一點(diǎn)在使用時(shí)必須注意。

二、邏輯代數的基本規則

1.代入規則

　　在任何一個(gè)邏輯等式中，如果將等式兩邊出現的某變量A ，都用一個(gè)函數代替，則等式依然成立，這個(gè)規則稱(chēng)為代人規則。
　　例如 ，在B(A＋C)＝BA＋BC中 ，將所有出現A的地方都代以函數A＋D,則等式仍成立，即得B[(A＋D)＋C]＝B(A＋D)＋BC＝BA＋BD＋BC
　　代人規則可以擴展所有基本定律的應用范圍。

2.反演規則

　　根據摩根定律，求一個(gè)邏輯函數Ｌ的非函數時(shí)，可以將Ｌ中的與（·）換成或（＋），或（＋）換成與（·）；再將原變量換為非變量（如Ａ換成），非變量換為原變量；并將1換成0，0換成1；那么所得邏輯函數式就是。這個(gè)規則稱(chēng)為反演規則。
　　注意，交換時(shí)要保持原式中的先后順序，否則容易出錯。
　　例如，求的非函數時(shí)，按照上述法則 ，可得，不能寫(xiě)成。
運用反演規則時(shí)必須注意兩點(diǎn)：
　?。?）保持原來(lái)的運算優(yōu)先順序，即如果在原函數表達式中,AB之間先運算，再和其他變量進(jìn)行運算，那么非函數的表達式中，仍然是AB之間先運算。
　?。?）對于反變量以外的非號應保留不變。

3.對偶規則

　　L是一個(gè)邏輯表達式，如把L中的與（·）換成或（＋）,或（＋）換成與（·）；1換成0，0換成1，那么就得到一個(gè)新的邏輯函數式，這就是L的對偶式，記作L。
　　例如，，則。變換時(shí)仍需注意保持原式中先與后或的順序。
　　所謂對偶規則，是指當某個(gè)邏輯恒等式成立時(shí)，則其對偶式也成立。
　　利用對偶規則，可從已知公式中得到更多的運算公式。
　　例如，吸收律成立，則它的對偶式也是成立的。

三、邏輯函數的代數變換與化簡(jiǎn)法

　　在第１章，曾經(jīng)通過(guò)列寫(xiě)真值表，得到了樓梯照明燈控制的邏輯表達式，它是一個(gè)同或函數。那么 ，對應唯一的真值表，邏輯函數表達式和實(shí)現它的邏輯電路是不是唯一的呢？下面就討論這個(gè)問(wèn)題。

1.邏輯函數的變換

　　例：函數對應的邏輯圖如下圖所示。利用邏輯代數的基本定律對上述表達式進(jìn)行變換。

　　解：

　　結果表明，圖示電路也是一個(gè)同或門(mén)。

　　例：求同或函數的非函數。
　　解：

　　這個(gè)函數稱(chēng)為異或函數，它表示當兩個(gè)輸入變量取值相異（一個(gè)為0，另一個(gè)為1）時(shí)，輸出函數值為1。
　　在MOS門(mén)電路中 ，我們已接觸過(guò)異或門(mén)，上面的推導更明確地告訴我們，異或門(mén)和同或門(mén)互為非函數。所以在異或門(mén)電路的輸出端再加一級反相器，也能得到同或門(mén)，如下圖所示。

　　至此，我們已經(jīng)學(xué)到了不止一種同或函數，但是同或函數的真值表卻是唯一的，事實(shí)上還可以列舉許多。由此可以得出結論：一個(gè)特定的邏輯問(wèn)題，對應的真值表是唯一的，但實(shí)現它的電路多種多樣。這給設計電路帶來(lái)了方便，當我們手頭缺少某種邏輯門(mén)的器件時(shí)，可以通過(guò)函數表達式的變換，避免使用這種器件而改用其他器件。這種情形在實(shí)際工作中常會(huì )遇到。

2.邏輯函數的化簡(jiǎn)

　　根據邏輯表達式，可以畫(huà)出相應的邏輯圖。但是直接根據某種邏輯要求而歸納出來(lái)的邏輯表達式及其對應的邏輯圖，往往并不是最簡(jiǎn)的形式，這就需要對邏輯表達式進(jìn)行化簡(jiǎn)。
　　一個(gè)邏輯函數可以有多種不同的邏輯表達式，如與—或表達式、或—與表達式、與非—與非表達式、或非—或非表達式以及與—或—非表達式等。

　　以上五個(gè)式子是同一函數不同形式的最簡(jiǎn)表達式。以下將著(zhù)重討論與或表達式的化簡(jiǎn)，因為與或表達式易于從真值表直接寫(xiě)出，且只需運用一次摩根定律就可以從最簡(jiǎn)與或表達式變換為與非一與非表達式，從而可以用與非門(mén)電路來(lái)實(shí)現。

最簡(jiǎn)與或表達式有以下兩個(gè)特點(diǎn)：
　?、倥c項（即乘積項）的個(gè)數最少。
　?、诿總€(gè)乘積項中變量的個(gè)數最少。

　　代數法化簡(jiǎn)邏輯函數是運用邏輯代數的基本定律和恒等式進(jìn)行化簡(jiǎn)，常用下列方法：
　?、?并項法

　?、?吸收法

　?、?消去法

　?、?配項法

　　使用配項的方法要有一定的經(jīng)驗，否則越配越繁。通常對邏輯表達式進(jìn)行化簡(jiǎn)，要綜合使用上述技巧。以下再舉幾例。

例1

解：

例2