采樣控制系統時(shí)間響應特性及其計算方法
關(guān)鍵詞:采樣控制系統 提升技術(shù) 時(shí)間響應
1 引言
當前多數控制方案都采用離散控制器控制連續被控對象的方法,這就構成了采樣控制系統[1]。連續時(shí)間信號和離散時(shí)間信號共存,是采樣控制系統的顯著(zhù)特點(diǎn),也成為精確分析采樣控制系統的難點(diǎn)所在[2]。傳統的采樣控制系統時(shí)間響應的計算方法是將連續被控對象離散化后,應用離散系統理論近似計算系統的時(shí)間響應,這種計算方法的缺陷有兩點(diǎn):一是系統的真實(shí)輸出為連續輸出,而計算結果卻是離散的;另外,計算過(guò)程中只考慮系統在采樣時(shí)刻點(diǎn)的信息,卻忽略了系統在采樣時(shí)刻之間的信息,因此只能是一種不精確的計算方法。
本課題受高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專(zhuān)向科研基金資助(HB-097-6820)
本文應用采樣控制系統直接設計方法[2,3],基于提升技術(shù),推導給出了采樣控制系統時(shí)間響應計算方法。
標準采樣控制系統的結構框圖如圖1所示,圖中實(shí)線(xiàn)代表連續信號,虛線(xiàn)代表離散信號,y(t)為輸出信號,u(t)為外部輸入信號,ψ、ν為數字信號,Kd為線(xiàn)性時(shí)不變離散控制器,S、H分別為理想采樣開(kāi)關(guān)和保持器,G為廣義連續LTI被控對象,可表示為
由于采樣開(kāi)關(guān)的存在,使采樣控制系統中連續和離散信號共存,具有周期時(shí)變性。Bassam A.Bamieh將采樣控制系統進(jìn)行提升化處理,提升后系統為離散時(shí)不變系統,其輸入輸出空間為無(wú)窮維,而系統范數不變[2,3]??梢?jiàn),提升技術(shù)雖然解決了采樣控制系統的周期時(shí)變問(wèn)題,但提升后系統的輸入輸出空間是無(wú)窮維,這一問(wèn)題成為采樣控制系統分析和設計的主要難點(diǎn)。
2 采樣控制系統時(shí)間響應特性及其計算方法
本節應用提升技術(shù)將采樣控制系統F轉化為線(xiàn)性時(shí)不變系統F
,然后求解系統F(G,Kd)的時(shí)間響應,得到提升輸出
。最后,將提升輸出
進(jìn)行逆提升處理,從而得到采樣控制系統的時(shí)間響應輸出y(t),如圖2所示。
2.1 采樣控制系統的提升化處理
提升算子L和逆提升算子L-1的作用可做如下直觀(guān)解釋?zhuān)郏玻荩篖將定義在t∈[0,+∞)上的連續信號y分割成定義在k∈N上的無(wú)窮個(gè)離散信號yk,每一個(gè)離散信號取值于定義在[0,h)上的Banach空間;而L-1是將無(wú)窮個(gè)離散信號“粘貼”成連續信號,如圖3所示,提升技術(shù)具有如下性質(zhì)[4]:
性質(zhì)1:連續信號經(jīng)過(guò)提升后,信號的范數保持不變,且L·L-1=I。
性質(zhì)2:周期時(shí)變的采樣控制系統經(jīng)過(guò)提升化處理后變成輸入輸出空間為無(wú)窮維的線(xiàn)性離散時(shí)不變系統,且提升系統不改變采樣控制系統的范數和穩定性。
性質(zhì)3:提升化處理不改變系統的時(shí)間響應特性。
根據提升算子和逆提升算子的定義,只是對信號的“分割”或“粘貼”,并不丟失信號的任何信息,因此提升化處理并不改變信號的時(shí)域特性,性質(zhì)3顯然成立,證明略。
為使問(wèn)題簡(jiǎn)化,設式(1)所示被控對象模型滿(mǎn)足D21=D22=0,提升后采樣控制系統中廣義被控對象模型為
2.2 采樣控制系統的時(shí)間響應特性
提升系統的閉環(huán)狀態(tài)空間表示為,
由于提升系統是線(xiàn)性時(shí)不變離散系統,故系統的閉環(huán)狀態(tài)空間表示為
但[kh,(k+1)h)時(shí)間段內,由于B1u是定積分,因此是常值,同時(shí)
區間[kh,(k+1)h)內卻是變化的,所以
在區間[kh,(k+1)h)內隨時(shí)間t′變化。假設系統初態(tài)為零,對于任意時(shí)刻t(0≤t<∞),在輸入信號u(t)作用下,系統的輸出響應為
可見(jiàn)根據式(2),對于任意時(shí)刻t,都存在yk(t′)與之對應,所以由式(2)表示的采樣控制系統時(shí)間響應是連續的,而且式(2)中,
以上算子表達式說(shuō)明式(2)描述的采樣控制系統的時(shí)間響應考慮了采樣時(shí)刻之間系統的信息,并且在任意時(shí)變輸入信號下,算子都具有精確解,這樣,式(2)真實(shí)地反映了采樣控制系統的時(shí)間響應特性。
2.3 采樣控制系統時(shí)間響應計算方法
當外部輸入信號為任意時(shí)變信號時(shí),算子的計算方法是首先將積分區間n等分,然后應用近似求和的方法計算積分項,n值選取越大,計算結果越精確,計算公式如下:
3 計算實(shí)例
根據前述內容計算采樣控制系統的時(shí)間響應,響應曲線(xiàn)如圖5和圖6所示。
圖5為單位階躍信號下的響應曲線(xiàn),圖6為頻率0.5Hz、單峰1°的正弦輸入下[0,5]秒內的輸出響應,曲線(xiàn)1是應用本文方法計算出的時(shí)間響應曲線(xiàn),由于考慮了采樣時(shí)刻之間系統的信息,所以響應曲線(xiàn)是光滑曲線(xiàn),而曲線(xiàn)2是首先將低通濾波器和連續被控對象離散化,得到純離散系統后計算出的響應曲線(xiàn),在一個(gè)周期[kh,(k+1)h)時(shí)間內,系統輸出為常值,故響應曲線(xiàn)為階梯狀。
另外,當t′=0時(shí),即只考慮采樣時(shí)刻的響應時(shí),若外部輸入為常值,提升系統簡(jiǎn)化為通常的離散系統,故圖5中曲線(xiàn)1與曲線(xiàn)2在采樣時(shí)刻存在重合點(diǎn);而當外部輸入為任意時(shí)變信號時(shí),由于離散系統理論認為在[kh,(k+1)h)區間內,外部輸入信號為常值u(kh),卻沒(méi)有考慮連續輸入信號在[kh,(k+1)h)間內的變化,因而相對于真實(shí)系統的輸出產(chǎn)生
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