采樣控制系統時(shí)間響應特性及其計算方法

1 引言
當前多數控制方案都采用離散控制器控制連續被控對象的方法，這就構成了采樣控制系統［１］。連續時(shí)間信號和離散時(shí)間信號共存，是采樣控制系統的顯著(zhù)特點(diǎn)，也成為精確分析采樣控制系統的難點(diǎn)所在［２］。傳統的采樣控制系統時(shí)間響應的計算方法是將連續被控對象離散化后，應用離散系統理論近似計算系統的時(shí)間響應，這種計算方法的缺陷有兩點(diǎn)：一是系統的真實(shí)輸出為連續輸出，而計算結果卻是離散的；另外，計算過(guò)程中只考慮系統在采樣時(shí)刻點(diǎn)的信息，卻忽略了系統在采樣時(shí)刻之間的信息，因此只能是一種不精確的計算方法。
本課題受高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專(zhuān)向科研基金資助(HB-097-6820)
本文應用采樣控制系統直接設計方法［２，３］，基于提升技術(shù)，推導給出了采樣控制系統時(shí)間響應計算方法。
標準采樣控制系統的結構框圖如圖1所示，圖中實(shí)線(xiàn)代表連續信號，虛線(xiàn)代表離散信號，y(t)為輸出信號，u(t)為外部輸入信號，ψ、ν為數字信號，Kd為線(xiàn)性時(shí)不變離散控制器，S、H分別為理想采樣開(kāi)關(guān)和保持器，G為廣義連續LTI被控對象，可表示為

由于采樣開(kāi)關(guān)的存在，使采樣控制系統中連續和離散信號共存，具有周期時(shí)變性。Bassam A.Bamieh將采樣控制系統進(jìn)行提升化處理，提升后系統為離散時(shí)不變系統，其輸入輸出空間為無(wú)窮維，而系統范數不變［２，３］?？梢?jiàn)，提升技術(shù)雖然解決了采樣控制系統的周期時(shí)變問(wèn)題，但提升后系統的輸入輸出空間是無(wú)窮維，這一問(wèn)題成為采樣控制系統分析和設計的主要難點(diǎn)。
2 采樣控制系統時(shí)間響應特性及其計算方法
本節應用提升技術(shù)將采樣控制系統Ｆ轉化為線(xiàn)性時(shí)不變系統F，然后求解系統F(G，Kd)的時(shí)間響應，得到提升輸出。最后，將提升輸出進(jìn)行逆提升處理，從而得到采樣控制系統的時(shí)間響應輸出y(t)，如圖2所示。

2.1 采樣控制系統的提升化處理
提升算子L和逆提升算子L－１的作用可做如下直觀(guān)解釋?zhuān)郏玻荩篖將定義在t∈［０，＋∞)上的連續信號y分割成定義在k∈N上的無(wú)窮個(gè)離散信號yk，每一個(gè)離散信號取值于定義在［０，h)上的Banach空間；而L－１是將無(wú)窮個(gè)離散信號“粘貼”成連續信號，如圖3所示，提升技術(shù)具有如下性質(zhì)［４］：
性質(zhì)1：連續信號經(jīng)過(guò)提升后，信號的范數保持不變，且L·L－１＝Ｉ。
性質(zhì)2：周期時(shí)變的采樣控制系統經(jīng)過(guò)提升化處理后變成輸入輸出空間為無(wú)窮維的線(xiàn)性離散時(shí)不變系統，且提升系統不改變采樣控制系統的范數和穩定性。
性質(zhì)3：提升化處理不改變系統的時(shí)間響應特性。
根據提升算子和逆提升算子的定義，只是對信號的“分割”或“粘貼”，并不丟失信號的任何信息，因此提升化處理并不改變信號的時(shí)域特性，性質(zhì)3顯然成立，證明略。

為使問(wèn)題簡(jiǎn)化，設式(1)所示被控對象模型滿(mǎn)足D２１＝Ｄ２２＝０，提升后采樣控制系統中廣義被控對象模型為


2.2 采樣控制系統的時(shí)間響應特性
提升系統的閉環(huán)狀態(tài)空間表示為，

由于提升系統是線(xiàn)性時(shí)不變離散系統，故系統的閉環(huán)狀態(tài)空間表示為

但［kh,(k+1)h)時(shí)間段內，由于B1u是定積分，因此是常值，同時(shí)區間［kh,(k+1)h)內卻是變化的，所以在區間［kh,(k+1)h)內隨時(shí)間t′變化。假設系統初態(tài)為零，對于任意時(shí)刻t(0≤t＜∞)，在輸入信號u(t)作用下，系統的輸出響應為

可見(jiàn)根據式(2)，對于任意時(shí)刻t，都存在yk(t′)與之對應，所以由式(2)表示的采樣控制系統時(shí)間響應是連續的，而且式(2)中，

以上算子表達式說(shuō)明式(2)描述的采樣控制系統的時(shí)間響應考慮了采樣時(shí)刻之間系統的信息，并且在任意時(shí)變輸入信號下，算子都具有精確解，這樣，式(2)真實(shí)地反映了采樣控制系統的時(shí)間響應特性。
2.3 采樣控制系統時(shí)間響應計算方法

當外部輸入信號為任意時(shí)變信號時(shí)，算子的計算方法是首先將積分區間n等分，然后應用近似求和的方法計算積分項，n值選取越大，計算結果越精確，計算公式如下：



3 計算實(shí)例

根據前述內容計算采樣控制系統的時(shí)間響應，響應曲線(xiàn)如圖5和圖6所示。
圖5為單位階躍信號下的響應曲線(xiàn)，圖6為頻率0.5Hz、單峰1°的正弦輸入下［０，５］秒內的輸出響應，曲線(xiàn)1是應用本文方法計算出的時(shí)間響應曲線(xiàn)，由于考慮了采樣時(shí)刻之間系統的信息，所以響應曲線(xiàn)是光滑曲線(xiàn)，而曲線(xiàn)2是首先將低通濾波器和連續被控對象離散化，得到純離散系統后計算出的響應曲線(xiàn)，在一個(gè)周期［kh,(k+1)h)時(shí)間內，系統輸出為常值，故響應曲線(xiàn)為階梯狀。

另外，當t′＝０時(shí)，即只考慮采樣時(shí)刻的響應時(shí)，若外部輸入為常值，提升系統簡(jiǎn)化為通常的離散系統，故圖5中曲線(xiàn)1與曲線(xiàn)2在采樣時(shí)刻存在重合點(diǎn)；而當外部輸入為任意時(shí)變信號時(shí)，由于離散系統理論認為在［kh,(k+1)h)區間內，外部輸入信號為常值u(kh)，卻沒(méi)有考慮連續輸入信號在［kh,(k+1)h)間內的變化，因而相對于真實(shí)系統的輸出產(chǎn)生