基于DSP的NURBS曲線(xiàn)插補控制

1 引言

運動(dòng)控制卡是一種基于工業(yè)PC機、用于各種運動(dòng)控制場(chǎng)合（包括位移、速度、加速度等）的上位控制單元，而插補模塊是運動(dòng)控制單元不可缺少的。本文所設計的基于PCI總線(xiàn)的DSP運動(dòng)控制卡，可完成數控系統中實(shí)時(shí)性要求較高的插補、位置控制、實(shí)現數控系統中多軸聯(lián)動(dòng)的插補計算、位置控制等功能。傳統的插補器一般都具有直線(xiàn)和圓弧的插補功能，使用不同算法處理直線(xiàn)、圓弧、螺旋線(xiàn)運動(dòng)。使用這種方法并非所有的控制特征被編程到每種插補類(lèi)型，而添加一種新的插補類(lèi)型需要大幅度改動(dòng)軟件結構。而該DSP運動(dòng)控制卡的插補器采用基于非均勻有理B樣條NURBS的通用插補器，把所有編程的插補類(lèi)型轉換為公共的數學(xué)表達式，使所有的功能不依賴(lài)于編程類(lèi)型。通用插補器是一種能準確表達曲率的插補模型，能夠精確表達出各種曲線(xiàn)、曲面的軌跡?；贜URBS原理的通用插補器模型包含任何曲線(xiàn)、曲面，所有傳統的插補類(lèi)型（直線(xiàn)、圓?。┮膊焕?，克服了傳統插補器的缺點(diǎn)，提高了控制精度。

2 運動(dòng)控制卡的硬件設計

運動(dòng)控制卡的硬件設計基于PCI總線(xiàn)規范，采用DSP和FPGA的結合，再配以其它輔助電路，可適用于各種PC機及其兼容機系統，其硬件方框圖如圖1所示，以下分別介紹圖1中各芯片功能及其在該硬件電路中的作用。

核心處理器DSP：TMS320LF2407a是TI公司專(zhuān)為電機控制和其他控制系統設計的DSP^[1]。主要完成位置速度PID控制,插補迭代運算,開(kāi)關(guān)量輸入和輸出以及程序和數據存儲和上下機的通信。

模擬量控制電路：將速度信號數字量用數據線(xiàn)接4路12位數模轉換芯片DAC7625,將數字信號轉換為-10～10V的模擬信號,輸出接模擬信號輸入的電機伺服驅動(dòng)模塊。

反饋電路：在大多數運動(dòng)系統中,采用光電編碼器作為閉環(huán)控制的反饋元件。光電編碼器輸出的是兩組相位相差90的脈沖信號Ａ和Ｂ, 先將信號差分整形以消除干擾信號的影響，然后對A、B兩相信號進(jìn)行四倍頻，同時(shí)進(jìn)行鑒相確定出DIR，根據DIR對四倍頻的脈沖進(jìn)行加計數或減計數。計數器和位置捕捉寄存器均為32位，DSP可對其進(jìn)行讀取或清零。

通訊電路：通過(guò)PCI接口從模式3.3V芯片PLX9030和雙口RAM芯片70V24與PC機的PCI總線(xiàn)相連,可以進(jìn)行高速數據傳輸。其中雙口RAM70V24作為上下機交換數據公共緩沖區。70V24芯片具有8個(gè)異步仲裁標志位,更好地保證雙方對數據的準確操作。另外,使用FPGA芯片FLEX10KA來(lái)實(shí)現PLX9030對雙口RAM70V24的時(shí)序轉換。

開(kāi)關(guān)量電路：包括通用16/16通用I/O點(diǎn)、能使4個(gè)電機輸出,4個(gè)軸左右的極限輸入和原點(diǎn)中斷輸入。

圖一 硬件結構框圖

3 運動(dòng)控制卡的插補計算

數控系統中插補的作用是讀取用戶(hù)程序經(jīng)解釋器解釋之后的位置指令，由軌跡的起點(diǎn)、終點(diǎn)、軌跡的類(lèi)型、軌跡的方向，計算出軌跡運動(dòng)的各個(gè)中間點(diǎn)坐標。插補程序在每一個(gè)插補周期算出坐標軸在一個(gè)周期中的位置增量，由此位置增量算出坐標軸相應的指令位置，作為位置閉環(huán)控制系統的輸入^[2]。該DSP運動(dòng)控制卡中，設計一種基于NURBS原理的通用插補器，下面簡(jiǎn)要說(shuō)明NURBS的原理。

圖二

一條曲線(xiàn)的形狀由控制點(diǎn)的位置決定，見(jiàn)圖二中的B_i。圖二中a、b曲線(xiàn)的B₇點(diǎn)的位置不同，使a、b曲線(xiàn)在與B₇相鄰的部分曲線(xiàn)形狀發(fā)生變化，而其余控制點(diǎn)附近的曲線(xiàn)形狀保持不變。在任意時(shí)刻t，曲線(xiàn)的位置為各個(gè)控制點(diǎn)加權平均值。離控制點(diǎn)越近，加權值越大，反之越小。一條K 次NURBS 曲線(xiàn)可以表示為一分段有理多項式矢函數：

其中,B_i(i= 0,1,…,n)為控制點(diǎn), 每個(gè)控制點(diǎn)附有一個(gè)權因子W_i(i=0,1,…,n),首末權因子W₀,Wn>0,其余W_i≥0,N_i,_k為K次規范B樣條基函數,可由下式遞推計算:

U=[u_0,u_1,…,u_n+k+1]稱(chēng)為節點(diǎn)矢量。以三次NURBS曲線(xiàn)為例，即k＝3時(shí)，第i段曲線(xiàn)可以寫(xiě)成下列矩陣形式：

其中 ，

由于控制頂點(diǎn)及權因子均已知,則Y₀、Y₁、Y₂、Y₃、Y₀’、Y₁’、Y₂’、Y₃’與參數無(wú)關(guān),可在插補計算之前預先算出,插補計算時(shí)只需計算插補變化量Δt,從而大大加快了計算速度。

在參數空間，曲線(xiàn)上插補點(diǎn)的參數可由二階泰勒級數表示為：

t_i+1= t_i+Tt`+(T²/2)t⁽²⁾ +O(T² ) （3）

其中，T為插補周期，t`,t⁽²⁾分別為參數對t的一階和二階導數。若以一階差分代替微分，將

代入公式（3），整理可得參數快速遞推公式，用以預估新插補點(diǎn)的參數：

_i+1=2.5t_i-2t_i-1+0.5t_i-2 （4）

基于上述算法可進(jìn)一步推導NURBS插補的誤差,加減速控制等算法,從而完善運動(dòng)控制卡的NURBS插補運算功能。

圖三 插補子程序框圖

插補子程序流程如圖三所示，具體插補過(guò)程包括以下幾個(gè)步驟：

1） 設定參數初始值，在選取t₂點(diǎn)時(shí)，需要對插補步長(cháng)進(jìn)行預算，在滿(mǎn)足弓高誤差、進(jìn)給速度、進(jìn)給加速度的約束條件時(shí)才可采用、否則需進(jìn)行校正。

2） 預估插補參數，得出預估參數后需取t的整數部分來(lái)確定取哪一段曲線(xiàn)的Y系數數組，這里0≤t_i≤n，若t_i超出n則說(shuō)明該曲線(xiàn)已到盡頭 這時(shí)插補參數應取為n，取第n-1段曲線(xiàn)的Y參數數組，實(shí)際插補參數取值為1。

3） 根據預估插補參數計算預估插補點(diǎn)F_i+1，預估插補步長(cháng)L_i。

4） 求期望步長(cháng)，需要先分別根據弓高誤差、進(jìn)給速度、進(jìn)給加速度的約束條件算出各自步長(cháng)，然后取其最小值即為期望步長(cháng)。

5） 根據希望步長(cháng)計算插補偏差，判斷插補偏差是否符合精度要求，若符合則該插補點(diǎn)即為所求，否則需對其進(jìn)行校正。

6） 確定符合要求的插補參數后，計算新插補點(diǎn)，并算出各軸增量。

當運動(dòng)控制系統的精度要求較高時(shí)，僅根據進(jìn)給速度及插補周期生成插補軌跡是不夠的， 需要進(jìn)一步對步長(cháng)進(jìn)行調整，方法是在插補中實(shí)時(shí)監控插補弓高誤差的大小，當誤差在允許誤差范圍內時(shí)，仍按瞬時(shí)進(jìn)給速度計算進(jìn)給步長(cháng)Li，若誤差超出了允許范圍，則按允許誤差求取約束插補步長(cháng)。此外，為了獲得更好的速度穩定性，應直接以弦長(cháng)速度為控制目標，為了滿(mǎn)足式（2） 的新插補點(diǎn)F_i+1，本文采用基于參數遞推預估與校正的參數曲線(xiàn)插補算法，它不僅計算速度快，而且可避免其他插補算法所需的曲線(xiàn)求導等復雜計算。

曲線(xiàn)所具有的有理形式分段參數方程使曲線(xiàn)的軌跡及其導數、曲率等計算異常繁瑣，因而需要通過(guò)適當的插補預處理，運用基于預估與校正的插補策略以及合理的近似計算等措施，有效地簡(jiǎn)化了插補過(guò)程中的軌跡計算，避免了對曲線(xiàn)的直接求導和曲率半徑等復雜計算，確保了插補算法的良好實(shí)時(shí)性。

根據上述算法，在上位機用VC++實(shí)現上層控制，通過(guò)PCI總線(xiàn)和雙口RAM芯片與DSP交換數據，用DSP語(yǔ)言實(shí)現下層插補算法，利用DSP的高速運算能力和和實(shí)時(shí)信號處理能力，在芯片粘片機的運用中取得了良好的效果，使該運動(dòng)控制卡能夠滿(mǎn)足運動(dòng)控制系統中高速高精度的要求。